Теплообмен излучением между двумя поверхностями тел в замкнутом пространстве

Рассмотрим теплообмен излучением между двумя поверх­нос­тя­ми тел, ко­гда одна из по­верх­но­с­тей окружает дру­гую. Это может быть, например, теп­ло­об­мен между двумя, на­хо­дя­щи­ми­ся одна внутри другой, тру­ба­ми (не обязательно коаксиальными) или между двумя сфе­ра­ми, одна из которых находится внутри другой (см. рисунок). Обо­­зна­чим через T₁, A₁, S₁, T₂, A₂, S₂ тем­пе­ратуры, ко­эф­фи­циенты поглощения и пло­щади поверхности внут­реннего и внеш­не­го тел соответственно. Формы по­вер­х­ностей могут быть любыми, но вну­т­­реннюю поверхность будем считать вы­пуклой, не образующей впа­дин. В этой за­даче надо учесть, что площади по­верх­ностей тел различны: S₁ < S₂, и что на по­верхность вну­трен­не­го те­ла по­па­да­ет не вся энергия, излученная поверхностью внешнего те­ла. Обо­зна­чим через j долю излучения E_эф2, попадающего на внутреннее тело; величина j за­ранее не­­из­вест­на и будет най­де­на в ходе решения задачи. Эффективное из­лу­че­ние вну­­т­рен­не­го тела со­сто­ит из соб­ст­вен­но­го излучения W₁×S₁ и той части па­да­ю­ще­го на него из­лу­че­ния от внешнего те­ла, которое внут­рен­нее тело отражает:

E_эф1 = W₁×S₁ + (1 - A₁)jE_эф2 . (1)

Эффективное излучение внешнего тела складывается из собственного из­лу­че­ния W₂×S₂, от­ра­жен­ной части падающего на него излучения E_эф1 и отраженной час­ти излучения (1-j)E_эф2, па­да­ющей от самого же внешнего тела:

E_эф2 = W₂ × S₂ + (1 - A₂) E_эф1 + (1 - A₂)(1-j)E_эф2,

т.е.

E_эф2 = [W₂ × S₂ + (1 - A₂) E_эф1] /[A₂ + j×(1 - A₂)]. (2)

Решая систему уравнений (20.1) и (20.2) относительно E_эф1 и E_эф2, находим:

E_эф1 = {W₁×S₁×[A₂ + (1 - A₂)j] + j×(1 - A₁)W₂×S₂}/[(A₂ + j×A₁×(1 - A₂)],

E_эф2 = [W₂×S₂ + (1 - A₂)W₁×S₁]/[(A₂ + j×A₁×(1 - A₂)].

Таким образом, для интенсивности теплообмена получаем:

E = E_эф1 - j×E_эф2 = [A₂×W₁×S₁ - A₁×j×W₂×S₂]/[(A₂ + j×A₁×(1 - A₂)]. (3)

Подставляя в (20.3) вместо W₁ и W₂ их выражения, находим:

E = [A₁×A₂×s×(S₁ × T₁⁴ - j×S₂×T₂⁴)]/[(A₂ + j×A₁×(1 - A₂)]. (4)

Для определения величины j используем тот очевидный факт, что если тем­пе­ра­туры тел T₁ и T₂ оди­на­ковы, то теплообмен между ними равен нулю, отсюда следует, что S₁ - jS₂ = 0, или

j = S₁ /S₂. (5)

Формулу для теплообмена (20.4) можно записать в виде:

E = A*s S₁×(T₁⁴ - T₂⁴), (6)

где коэффициент A* (приведенная степень черноты) имеет вид:

. (7)

Полученные формулы можно применять для расчета лучистого теп­ло­об­ме­на между телами любой формы (при условии, что внутреннее тело выпуклое). С помощью формулы (20.6) можно также оценить потери тепла за счет из­лу­че­ния телом с тем­пературой T₁ в ок­ру­жа­ю­щую среду, имеющую температуру T₂. Для этого надо устремить S₂ ® ¥, тогда S₁ /S₂ ® 0, и A* ® A₁.