Задача о промерзании влажного грунта (классическая задача Стефана)

1.Постановка задачи. Влажный грунт находится в талом состоянии и име­ет всюду на­чаль­ную температуру T_н, которая выше температуры замерзания (тем­пературы фазового пе­ре­хо­да) T_ф. В момент времени t = 0 на поверхности грун­та x = 0 скачком уста­нав­ли­ва­ет­ся, а за­тем поддерживается температура T₀, ко­торая ниже температуры замерзания T_ф. В результате это­го у поверхности грун­та появляется промерзший слой, толщина которого со временем уве­ли­чи­ва­ется. Требуется найти закон движения фронта промерзания и распределение тем­пе­ра­ту­ры в промерзшей и талой зонах.

2.Классическое решение. Обозначим через x₁ ко­ор­ди­на­ту фрон­та промерзания, через T₁(x,t) тем­пе­ра­ту­ру в про­мерз­шем слое 0 £ x £ x₁, а через T₂(x,t) - тем­пе­ра­туру в еще не про­мер­з­шей (та­лой) области x₁ £ x < ¥ (см. рисунок). Тогда задача о про­мер­за­нии грунта мо­жет быть сформулирована как задача о со­пря­же­нии двух температурных по­лей на движущемся фронте про­­мер­за­ния, т.е. сведена к решению урав­не­ний теп­ло­про­вод­ности

(1)

где a₁ и a₂ - коэффициенты температуропроводности в мерзлой и талой зонах соответст­венно, с начальным условием

T₂(x,0) = T_н, (2)

с граничным условием на неподвижной границе (поверхности) х = 0:

T₁(0,t) = T₀ < T_ф, (3)

и условиями на фронте промерзания:

. (4)

В дальнейшем положим для краткости записи T_ф = 0; это всегда можно сделать, вы­брав нуж­ное начало от­счета температурной шкалы (для задач о промерзании или про­таи­вании во­ды это просто оз­на­чает переход на шкалу Цельсия).

Т.к. фронт движется с неизвестной заранее скоростью, то на нем, кроме гра­ничных ус­ло­вий (4) для уравнений теплопроводности, должно быть за­да­но еще одно условие, оп­ре­де­ля­ю­щее скорость движения фронта. Пусть за время dt фронт смещается на расстояние dx₁; при этом замерзает масса воды, равная rSdx₁ и выделяется количество тепла LrSdx₁, где S - пло­щадь фронтовой по­верх­ности, L - удельная теплота фазового перехода, r - масса воды в еди­ни­це объ­ема грунта. По закону сохранения энергии это количество тепла должно рав­няться раз­нос­ти количеств тепла, прошедших через фронт со стороны талой и мерзлой зон:

,

или

. (5)

Это условие называется условием Стефана на фронте фазового перехода.

Будем искать решение уравнений (1) в виде:

, ,

где A₁, A₂, B₁, B₂ - неизвестные пока константы, которые должны быть определены из на­чаль­но­го и граничных условий. Из условия (3) находим:

A₁ = T₀, (6)

условие (2) дает:

A₂ + B₂ = T_н, (7)

а из условий (16.4) получаем:

= T_ф = 0. (8)

Для того, чтобы некоторая функция равнялась константе, необходимо, чтобы ее аргумент рав­нял­ся константе, поэтому равенства (8) возможны лишь в том случае, если

,

или

. (9)

Формула (9) дает ответ на вопрос о том, по какому закону движется фронт промерзания: его координата пропорциональна квадратному корню от времени промерзания, а коэффициент про­порциональности a - некоторая неизвестная пока константа, которая должна быть найдена в ходе дальнейшего решения.

Равенства (8) теперь можно записать в виде:

,

откуда

, (10)

и

. (11)

Решая совместно (7) и (11), находим:

, (12)

. (13)

Итак, константы A₁, A₂, B₁, B₂ найдены (формулы (6), (10), (12), (13)), точ­нее, вы­ра­жены через неизвестную пока константу a. Для опре­де­ле­ния константы a ис­поль­зу­ем условие Стефана (5), для чего запишем сначала формулы для и :

,

.

Полагаем x = и подставляем эти формулы в (5):

.

Сокращая на , получаем трансцендентное уравнение относительно a:

. (14)

Это уравнение имеет решение при T₀ < 0 и T_н ³ 0, т.к. в этом случае при из­ме­не­нии a от 0 до ¥ ле­вая часть меняется от -¥ до +¥, а правая часть - от 0 до -¥. В “до­компьютерные” времена ре­шение подобных уравнений обычно находили гра­фически: чертили зависимость левой части от a, за­тем на этом же графике чер­тили зависимость правой части от a, и точка пересечения давала ре­шение. В на­стоящее время подобные урав­нения решают численно с помощью компьютера. Имеется несколько алгоритмов решения таких уравнений, например ме­тод “вилки” (или по­ло­вин­ного деления), метод ка­са­тельных, метод хорд и др.

Таким образом, если заданы теплофизические параметры вещества l₁, l₂, a₁, a₂, L, r, а так­же граничная и начальная температуры T₀ < 0 и T_н ³ 0, то кон­с­тан­та a, а вслед за ней и кон­станты A₁, A₂, B₁, B₂ определяются однозначно.

3.Упрощенные решения. Если начальная температура равна температуре фа­зового пе­ре­хо­да: T_н = T_ф = 0, то урав­не­ние (14) упрощается. Физически это означает, что талая зона пред­ставляет собой жид­кость, в которой благодаря хо­рошей конвекции имеет место по­сто­ян­ст­во температуры (за­да­ча об об­ра­зо­ва­нии льда на поверхности воды). Обозначив:

,

запишем это уравнение в виде:

,

или

, (15)

где

< 0, т.к. T₀ < 0.

Левая часть уравнения (15) - это универсальная (пригодная для задачи с лю­бы­ми па­ра­мет­ра­ми) функция b, график которой легко построить, а правая часть - прямая линия, проходящая че­рез начало координат под уг­лом, определяемым ко­эффициентом D, поэтому данное урав­не­ние легко решается как графически, так и численно. Если b << 1, т.е. если a << , то фун­к­ции и erf(b) в урав­не­нии (15) можно разложить в ряд, ограничившись первыми чле­на­ми раз­ло­же­ния:

, .

Тогда из уравнения (16.15) получаем:

, отсюда . (16)

Знак “минус” под корнем напоминает, что полученная формула, как и все ре­ше­ние, имеет смысл только если T₀ < 0.