Уравнение первого закона термодинамики для потока

Как указывалось выше, под открытыми понимаются термодинамические системы, которые, кроме обмена теплотой и работой с окружающей средой, допускают также и обмен массой. В технике широко используются процессы преобразования энергии в потоке, когда рабочее тело перемещается из области с одними параметрами (p ₁, v ₁) в область с другими (p ₂, v ₂). Это, например, расширение пара в турбинах, сжатие газов в компрессорах.

Будем рассматривать лишь одномерные стационарные потоки, в которых параметры зависят только от одной координаты, совпадающей с направлением вектора скорости, и не зависят от времени. Условие неразрывности течения в таких потоках заключается в одинаковости массового расхода m рабочего тела в любом сечении:

, (5.1)

где F – площадь поперечного сечения канала; с – скорость рабочего тела.

Рассмотрим термодинамическую систему, представленную схематически на рис. 5.1. По трубопроводу 1 рабочее тело с параметрами Т ₁, р ₁, v ₁ подается со скоростью с ₁ в тепломеханический агрегат 2 (двигатель, паровой котел, компрессор и т.д.). Здесь каждый килограмм рабочего тела в общем случае может получать от внешнего источника теплоту q и совершать техническую работу l _тех, например, приводя в движение ротор турбины, а затем удаляется через выхлопной патрубок 3 со скоростью с ₂, имея параметры Т ₂, р ₂, v ₂. Технической называется работа, отбираемая из потока за счет каких-либо технических устройств или подводимая к нему. Следует сразу подчеркнуть, что d l _тех не равна p dv, т. е. работе расширения закрытой термодинамической системы против окружающей среды.

Выделим определенный объем рабочего тела в трубопроводе (сплошные линии I и II на рис. 5.1) и рассмотрим изменения, связанные с его перемещением в новое положение (пунктирные линии). Если наблюдатель перемещается вместе с объемом, то в системе координат, связанной с наблюдателем, потоки массы через границы объема отсутствуют и, следовательно, с точки зрения наблюдателя термодинамическая система является закрытой. Для нее справедлива запись первого закона термодинамики в виде .

Внутренняя энергия есть функция состояния рабочего тела, поэтому значение u ₁ определяется параметрами рабочего тела при входе (сечение потока I), а значение u ₂ – параметрами рабочего тела при выходе из агрегата (сечение II).

Работа расширения l совершается рабочим телом на поверхностях, ограничивающих выделенный движущийся объем, т. е. на стенках агрегата и границах I и II, отделяющих этот объем от остального потока. Часть стенок агрегата неподвижна, и работа расширения на них равна нулю. Другая часть стенок специально делается подвижной (рабочие лопатки в турбине и компрессоре, поршень в поршневой машине), и рабочее тело совершает на них техническую работу l _тех.

При входе рабочее тело вталкивается в агрегат. Для этого нужно преодолеть давление р ₁. Рассмотрим отрезок времени, в течении которого в объем между сплошной и пунктирной границами втечет 1 кг рабочего тела. В стационарном режиме его столько же вытечет из агрегата. Поскольку р ₁ = const, каждый килограмм рабочего тела может занять объем v ₁ лишь при затрате работы, равной l _вт = - р ₁ v ₁.

Для того чтобы выйти в трубопровод 3, рабочее тело должно вытолкнуть из него такое же количество рабочего тела, ранее находившегося в нем, преодолев давление р ₂, т.е. каждый килограмм, занимая объем v ₂, должен произвести определенную работу выталкивания l _выт = р ₂ v ₂.

Сумма называется работой вытеснения.

Если скорость с ₂ на выходе больше, чем с ₁ на входе, то часть работы расширения будет затрачена на увеличение кинетической энергии рабочего тела в потоке, равное . Окончательно

. (5.2)

Подставив полученное значение l в уравнение первого закона термодинамики, получим

.

Поскольку , окончательно запишем:

. (5.3)

Это и есть выражение первого закона термодинамики для потока, который можно сформулировать так: теплота, подведенная к потоку рабочего тела, расходуется на увеличение энтальпии тела, производство технической работы и увеличение кинетической энергии потока.

В дифференциальной форме уравнение (5.3) записывается в виде

. (5.4)

Выше было указано, что к замкнутому объему рабочего тела, выделенному в потоке, применимо выражение первого закона термодинамики для закрытой системы, т.е. .

Сравнивая это выражение с уравнением (5.4), получим , или

. (5.5)

Величину называют располагаемой работой. Чтобы избавиться от минуса перед интегралом, пределы интегрирования поменяли местами В p, v - диаграмме (рис. 5.2) она изображается заштрихованной площадью.

Из сравнения рис 5.2 с рис. 2.1 наглядно видно, что она отличается от работы расширения, используемой в математическом выражении первого закона термодинамики для замкнутой системы. Располагаемая работа тратится на совершение технической работы и ускорение потока.

Выражение (5.3) первого закона термодинамики для потока имеет огромное практическое применение, поскольку позволяет анализировать работу любого тепломеханического агрегата. Более того, этот закон применим и для анализа процессов течения с трением, если теплота, выделяющаяся при трении, аккумулируется рабочим телом (для упрощения изложения в данном пособии трение не учитывалось, поскольку этот неравновесный процесс формально не вписывается в рамки классической термодинамики).

Применим первый закон термодинамики для потока к различным типам тепломеханического оборудования.

Теплообменный аппарат (устройство, в котором теплота от жидкой или газообразной среды передается другой среде). Для него l _тех = 0, << q, поэтому

. (5.6)

Следует подчеркнуть, что для теплообменника, установленного в потоке, это выражение справедливо не только в изобарном процессе, но и в процессе с трением, когда давление среды уменьшается из-за сопротивления.

Тепловой двигатель. Обычно << l _тех, а q =0, поэтому рабочее тело производит техническую работу за счет уменьшения энтальпии:

. (5.7)

Величину h ₁- h ₂ называют располагаемым теплоперепадом.

Их формулы (5.5) видно, что при = 0, q = 0 и отсутствии потерь на трение получаемая от двигателя техническая работа равна располагаемой, т.е. изображается заштрихованной площадью на рис. 5.2.

Компрессор. Компрессор – это двигатель «наоборот»: в нем рабочее тело сжимается за счет затраты технической работы. Если процесс сжатия газа в компрессоре происходит без теплообмена с окружающей средой (q =0) и с ₁ = с ₂, что всегда можно обеспечить надлежащим выбором сечений всасывающего и нагнетательного воздухопроводов, то

. (5.8)

В отличие от предыдущего случая здесь h ₁ < h ₂, т.е. техническая работа в адиабатном компрессоре затрачивается на увеличение энтальпии газа. Она опять-таки изображается заштрихованной площадью на рис. 5.2.

Сопла и диффузоры. Специально спрофилированные каналы для разгона рабочей среды и придания потоку определенного направления называются соплами. Каналы, предназначенные для торможения потока и повышения давления, называются диффузорами. Техническая работа в соплах и диффузорах не совершается, поэтому уравнение (5.4) приводится к виду

.

С другой стороны, в системе координат, движущейся в потоке вместе с объемом рабочего тела, применимо выражение первого закона термодинамики для закрытой системы .

Приравняв правые части двух последних уравнений, получим

. (5.9)

Из (5.9) видно, что dc и dp всегда имеют противоположные знаки. Следовательно, увеличение скорости течения в канале (dc>0) возможно лишь при уменьшении давления в нем (dp<0). Наоборот, торможение потока (dc<0) сопровождается увеличением давления (dp>0).

Поскольку длина сопла или диффузора невелика, а скорость течения среды в них достаточно высока, то количество теплоты, отданной стенкам канала при малом времени их контакта, настолько незначительно, что в большинстве случаев им можно пренебречь и считать процесс истечения адиабатным (q = 0). При этом уравнение (5.3) принимает вид

. (5.10)

Следовательно, ускорение адиабатного потока в соплах происходит за счет уменьшения энтальпии, а торможение потока в диффузорах вызывает ее увеличение.

Дросселирование газов и паров. Из опыта известно, что если на пути движения газа или пара в канале встречается препятствие (местное сопротивление), частично загромождающее поперечное сечение потока, то давление за препятствием всегда оказывается меньше, чем перед ним. Процесс уменьшения давления, в итоге которого нет ни увеличения кинетической энергии, ни совершения технической работы, называется дросселированием.

Дросселирование – явно неравновесный процесс. Однако выше говорилось, что уравнение (5.3) применимо и для течения рабочего тела с трением. Поскольку в этом случае l _тех= q = =0, из (5.3) следует, что h ₂ = h ₁, т. е. энтальпия рабочего тела при адиабатном дросселировании не меняется.

Выше отмечалось, что энтальпия идеального газа зависит только от температуры, поэтому постоянство энтальпии означает постоянство температуры. Следовательно, в результате дросселирования идеального газа температура его остается неизменной. Дросселирование реальных газов и, в частности, водяного пара, изучают с помощью h, s - диаграммы, исходя из того, что в результате дросселирования энтропия возрастает (так как это неравновесный процесс), а энтальпия остается постоянной. Температура же может меняться (эффект Джоуля – Томпсона).

Смешение потоков. В ряде случаев необходимо рассчитать параметры рабочего тела, получающегося в результате смешения двух разных потоков. Например, в паровую турбину необходимо подавать пар со строго определенной температурой, а из пароперегревателя котлоагрегата он выходит более горячим. В этом случае в поток пара впрыскивают воду, которая, испаряясь, охлаждает пар до нужной температуры. В смесителе , т.е. энтальпия входящих потоков равна энтальпии выходящего потока. Записав уравнение баланса не для одного килограмма, как в уравнении (5.3), а для всего количества рабочего тела, получим

;

.

Здесь m ₁, m ₂ и m ₃ – соответствующие расходы, кг/с, а h ₁, h ₂ и h ₃ - удельные энтальпии рабочего тела в этих потоках, Дж/кг (рис. 5.3).

Совместное решение этих двух уравнений позволяет найти, например, необходимый расход m ₂ охлаждающей воды, если известны расход m ₁ и энтальпия h ₁ на входе в смеситель, энтальпия h ₂ воды и требуемая энтальпия h ₃ пара на выходе, определяющая его температуру.