Определение 3.8

Векторным произведением векторов ` а и ` b называется вектор` v, удовлетворяющий свойствам:

а) | | = | |.| |. sin ,

б) вектор` v перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

в) векторы , ,` v, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку

Векторное произведение обозначается ´ или [ , ]. Векторное произведение обладает свойствами:

1) ,

2) ,

3) = l() = ,

4) =`0 ( ¹`0, ¹`0) тогда и только тогда, когда векторы и коллинеарны. В частности, .

Для базисных векторов ` i,` j,` k имеют место соотношения:

.

Пусть векторы заданы своими координатами:

и .

Используя перечисленные свойства, получим

= ´ =

+ =

=

=

= .

Таким образом, через координаты перемножаемых векторов ` a = (a<sub>x</sub>, a<sub>y</sub>, a<sub>z</sub>) и ` b = (b_x, b_y, b_z) векторное произведение может быть записано в виде символического определителя

.

или в виде координатной строки

´ = .

Рассмотрим параллелограмм ABCD, построенный на векторах` а и` b как на сторонах (рис. 8). Площадь этого параллелограмма равна

S_пар. = |AB|.|AD|.sinj = | |.| |. sinj = | ´ |.

Таким образом, с геометрической точки зрения, модуль векторного произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на сторонах.