Определение 3. 6

Число, равное произведению длин двух векторов на косинус угла между ними называется скалярным произведением этих векторов. Для векторов и их скалярное произведение обозначается (, ), или . .

Таким образом, по определению

. = | |.| | cos .

Скалярное произведение обладает свойствами:

1. . = . ;

2. . ( + `с) = . + ;

3. . = | |² = ² – скалярный квадрат; отсюда ;

4. l . = (l ) . = . (l );

5. . = 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов нулевой, либо когда векторы и ортогональны;

6. . Пользуясь этим свойством, получим

.

Заметим, что для ортонормированного базиса {` i,` j,` k } пространства V³ справедливы следующие соотношения

,

.

Пусть в ДПСК, порожденной репером [O,` i,` j,` k ], заданы два вектора

и .

Используя перечисленные свойства скалярного произведения, получим для этих векторов:

. = . =

+ =

= .

Таким образом, если векторы заданы своими координатами в ДПСК, то их скалярное произведение равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов:

. = .

Пользуясь этим правилом, можно записать в координатной форме

| | = (. ) = ,

= .

Учитывая эти формулы и следствие из свойства 6, находим:

,

т.е. в ДПСК координаты вектора равны его проекциям на соответствующие оси координат.

Для направляющих косинусов вектора ` а имеем

,

,

.

Рассмотрим орт `а <sup>о</sup> вектора ` а. Учитывая координаты вектора ` а,находим

`а ^о = .

Следовательно, направляющие косинусы вектора равны координатам его орта и наоборот, т.е. можно записать `а ^о = (cosa, cosb, cosg).