Определение 3.3

Множество L называется линейным векторным пространством (или просто ЛП), если в L введены две операции «сложения» Å и «умножения на число» Ä такие, что для любых ` а,` b Î L и для любого числа a (действительного или комплексного) выполняются условия ` а Å` b Î L и aÄ Î L и эти операции удовлетворяют аксиомам:

1) ` а Å` b =` b Å` a

2) ` а Å` b

3) в L существует нулевой элемент`0 такой, что
" Î L Þ` а Å`0 =` a

4) " Î L существует противоположный элемент (– )Î L такой, что ` а Å(– ) =`0

5) 1Ä =

6) aÄ (bÄ ) = (ab)Ä

7) aÄ( Å` b) = (aÄ ) Å (aÄ )

8) (a+b)Ä = aÄ Å bÄ .

Элементы линейного пространства называются векторами. ЛП называется действительным, если «умножение на число» определено для действительных чисел; если «умножение на число» определено для комплексных чисел, то ЛП называется комплексным ЛП.

Чтобы выяснить, является ли заданной множество ЛП, нужно:

1) задать операции Å и Ä (или проверить, что они заданы) так, чтобы результат этих операций был элементом данного множества.

2) проверить для этих операций выполнение всех восьми аксиом.

Докажите самостоятельно, что линейными пространствами (с естественным образом определенными на них операциями) являются:

- множество действительных чисел R;

- множество С_{[ a , b ]} непрерывных на [ a, b ] функций;

- множество Р _п [ x ] многочленов степени не выше п;

- множество матриц-строк длины п.

В дальнейшем для краткости операцию Å будем обозначать обычным знаком «+», а операцию Ä – также обычным символом умножения «.» или вообще опускать в записи, как это делается в алгебраических выражениях.

Рассмотрим совокупность (говорят: систему) векторов линейного пространства L: ₁, ₂, …, _k. Вектор ЛП L вида a_{1 1}+a_{2 2} + …+ a _{k k}. называется линейной комбинацией этих векторов, числа a _i – коэффициенты линейной комбинации.

Date: 2015-04-23; view: 426; Нарушение авторских прав