Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Векторы и операции над ними
Тема 3. Элементы векторной алгебры Векторы и операции над ними. Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что: - геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно. - длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора | |, или | |; - вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается ` 0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0; - вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом; - вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается – . - два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: ` a =` b. -
- ортом вектора ` а называется вектор ` а о такой, что ` а ` а о и =1(рис.1); - ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях; - углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами ` а и` b символом ; - векторы называются ортогональными, если угол между ними равен 90о; ортогональность векторов ` а и` b обозначают ` а ^` b; - проекцией вектора ` а на вектор ` b называется число Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число. Суммой векторов ` а и` b называется вектор , который можно найти:
а) по правилу треугольника (рис. 2);
б) по правилу параллелограмма (рис.3). Разность векторов` а и` b определяется равенством = + (–` b), где () – вектор, противоположный вектору` b. Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и` b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого. Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a , модуль которого равен |a|.| |, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4). Используя операцию умножения и определение орта вектора, "` а можно записать: = | |.` а о и наоборот, ` а о = . Справедлива также следующая теорема: Теорема3.1. Векторы ` а и` b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число a такое, что = a . Доказательство: 1) если = a , a ¹ 0, то, по определению произведения вектора на число, ` а и` b коллинеарны. 2) Пусть ` а и` b коллинеарны. Рассмотрим ` а о и ` b о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо ` а о ` b о, либо ` а о ` b о и |` а о| = |` b о| = 1. Но тогда либо ` а о =` b о, ` а о = –` b о, откуда = , или = – . Следовательно, либо , либо , но это и означает, что существует a = такое, что = a . ЧТД. Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами: 1) 2) 3) + (– ) =`0 4) (a + b) = a + b 5) (ab) = a(b ) 6) a( + ) = a + a 7) 8)
Date: 2015-04-23; view: 566; Нарушение авторских прав |