Векторы и операции над ними

Тема 3 . Элементы векторной алгебры

Векторы и операции над ними.

Понятие вектора и простейшие операции над векторами вы изучали еще в школе. Вспомним кратко, что:

- геометрический вектор – это направленный отрезок прямой. Обозначается вектор: а, , , , где А – начало вектора, В – конец; В математике рассматриваются только свободные векторы, т.е. векторы, начало которых выбирают произвольно.

- длиной (модулем) вектора называется расстояние между его началом и концом, обозначается модуль вектора | |, или | |;

- вектор, начало и конец которого совпадают, называется нулевым вектором, обозначается `0 или 0, направление этого вектора не определяется, дина его равна 0;

- вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором или ортом;

- вектор называется противоположным вектору , для вектора противоположный обозначается – .

- два вектора называются равными, если они имеют равные модули и одинаково направлены, записывают: `a =`b .

-

- ортом вектора `а называется вектор `а^о такой, что `а `а^о и =1(рис.1);

- ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях;

- углом между векторами называется наименьший угол, на который нужно повернуть один из них, чтобы направления этих векторов совпали; обозначают угол между векторами `а и`b символом ;

- векторы называются ортогональными, если угол между ними равен 90^о; ортогональность векторов `а и`b обозначают `а ^`b ;

- проекцией вектора `а на вектор `b называется число
.

Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.

Суммойвекторов `а и`b называется вектор , который можно найти:

а) по правилу треугольника (рис. 2);

б) по правилу параллелограмма (рис.3).

Разность векторов`а и`b определяется равенством = + (–`b), где ( ) – вектор, противоположный вектору`b.

Напомним, что в параллелограмме ОАСВ (рис.2) сумма есть вектор-диагональ , исходящая из общего начала О векторов и`b, а разность этих векторов есть другая вектор-диагональ – вектор, направленный из конца вычитаемого вектора к концу уменьшаемого.

Произведением вектора на число a ¹ 0 называется вектор a , модуль которого равен |a|.| |, а направление совпадает с направлением вектора , если a > 0, и противоположно направлению вектора , если a < 0 (рис.4).

Используя операцию умножения и определение орта вектора, "`а можно записать: = | |.`а^о и наоборот, `а^о = .

Справедлива также следующая теорема:

Теорема3.1.

Векторы `а и`b коллинеарны тогда и только тогда, когда существует отличное от нуля число a такое, что = a .

Доказательство: 1) если = a , a ¹ 0, то , по определению произведения вектора на число, `а и`b коллинеарны.

2) Пусть `а и`b коллинеарны. Рассмотрим `а<sup>о</sup> и `b^о, они, очевидно, тоже коллинеарны. Значит, либо `а<sup>о</sup> `b^о, либо `а<sup>о</sup> `b^о и |`а<sup>о</sup>| = |`b^о| = 1. Но тогда либо `а<sup>о</sup> =`b^о, `а<sup>о</sup> = –`b^о, откуда = , или = – . Следовательно, либо , либо , но это и означает, что существует a = такое, что = a . ЧТД.

Нетрудно показать, что введенные выше линейные операции обладают свойствами:

1)

2)

3) + (– ) =`0

4) (a + b) = a + b

5) (ab) = a(b )

6) a( + ) = a + a

7)

8)