Определение 3.5

Конечная упорядоченная максимально линейно независимая система векторов { ₁, ₂, …, _п} ЛП L называется базисом этого пространства.

Обозначают Б: { ₁, ₂, …, _п}. Если ЛП L имеет базис, то оно называется конечномерным, число векторов базиса называется размерностью ЛП L . Если хотят подчеркнуть, что ЛП L имеет размерность п (или, что то же самое, имеет базис, состоящий из п векторов), то пишут L_n.

Если система { ₁, ₂, …, _п} есть базис ЛП L , то "`b Î L существуют числа х₁, х₂, …, х_п такие, что

`b = х_{1 1}+ х_{2 2}+ …+ х_{п п}, (1)

Равенство (1) называется разложением вектора `b по базису { <sub>1</sub>, <sub>2</sub>, …, <sub>п</sub>}. Числа х<sub>1</sub>, х<sub>2</sub>, …, х<sub>п</sub> (коэффициенты разложения) называют координатами вектора `b в базисе { ₁, ₂, …, _п}. Тот факт, что числа х₁, х₂, …, х_п являются координатами вектора `b в базисе Б:{ ₁, ₂, …, _п} записывают так:

`b = (х₁, х₂, …, х_п)_Б.

Совокупность п чисел вида (х₁, х₂, …, х_п) называют числовой строкой длины п. По сути числовая строка длины п – это матрица-строка размерности п´1. Поэтому над числовыми строками можно определить операции сложения и умножения на число так, как были определены эти операции для матриц. Множество всевозможных числовых строк длины п является линейным пространством размерности п и это пространство называется координатным пространством (или арифметическим пространством строк) и обозначается Rⁿ.

Множество свободных геометрических векторов образует линейное пространство. Пространство векторов плоскости обозначают V², множество векторов трехмерного пространства обозначают V³. Пространство векторов, расположенных на одной прямой (или параллельных одной прямой) обозначают V¹.

Справедлива теорема:

Теорема3.2.

Базис пространства V¹образует любой ненулевой вектор.

Базис пространства V²образуют любые два ненулевых неколлинеарных вектора.

Базис пространства V³ составляют любые три ненулевых некомпланарных вектора.

Доказательство: Если совокупность ₁, ₂, …, _k. векторов линейного пространства является базисом, то равенство a_{1 1}+a_{2 2} + …+ a_{k k} =`0 выполняется тогда и только тогда, когда все коэффициенты a_i = 0 и " вектора выполняется равенство

= b_{1 1}+ b_{2 2} + …+ b_{k k},

где b_i– некоторые числа.

1) Рассмотрим произвольный ненулевой вектор Î V¹. Равенство a =`0 выполняется только при a = 0. Так как все векторы V<sup>1</sup> лежат на одной прямой, то они коллинеарны, следовательно, для любого вектора `аÎ V¹ можно записать , значит, вектор образует базис в V¹.

2) Рассмотрим два произвольных ненулевых, неколлинеарных вектора `а ,`bÎV². Покажем, что равенство выполняется только при a = b = 0, и "`с ÎV² $ х, уÎ R² , такие, что .

Предположим, что равенство верно при a ¹ 0, тогда получим

Þ , т.е. ,

значит, векторы `а и `b коллинеарны, что противоречит условию. Значит, a = b = 0.

Рассмотрим произвольный вектор `с ÎV<sup>2</sup>, пусть, например, (рис 5). Через точку С проведем прямую, параллельную вектору `b, а через точку D – прямую, параллельную вектору`а. Тогда вектор параллелен вектору `а и , значит, = х , а вектор параллелен вектору и = у . Следовательно, из треугольника, получаем

= ,

что и требовалось доказать.

Утверждение 3) доказать самостоятельно.

Равенство называется разложением вектора`с по базису {`a,`b }, коэффициенты х и у этого разложения называются координатами вектора `с в базисе {`a,`b }, запись `с = (х, у) называется координатной формой вектора `с.

Если `a,`b, `с – некомпланарные ненулевые векторы, то они образуют базис пространства V<sup>3</sup>, поэтому "`dÎV³ разложение по базису {`a,`b, `с } имеет вид

,

а в координатной форме `d = (x, y , z).

Координатная форма вектора устанавливает соответствие между пространством геометрических векторов (V², V³) и пространством числовых строк (R² и R³ соответственно). Поэтому линейные операции над векторами в координатной форме выполняются по правилам действий над числовыми строками.

Например,если два вектора и пространства V³ заданы своими координатами = ( а_x , a_y , a_z) и = (b_x , b_y , b_z), то

= Û a_x = b_x, a_y = b_y, a_z = b_z;

± =(а_x ± b_x , a_y ± b_y, a_z ± b_z);

a = ( aа_x , aa_y , aa_z).

Если векторы = ( а_x , a_y , a_z) и = (b_x , b_y , b_z), коллинеарны, то выполняется равенство , откуда ( а_x , a_y , a_z) = (lb_x , lb_y , lb_z), или

a_x =lb_x, a_y = lb_y, a_z = lb_z,

.

Значит, если векторы коллинеарны, то их координаты пропорциональны.

Наоборот, если координаты двух векторов пропорциональны, то имеем:

Þ ( а_x , a_y , a_z) = (lb_x , lb_y , lb_z) Þ ,

а это значит, что векторы коллинеарны.

Таким образом, мы доказали: для того, чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.

Рассмотрим произвольную прямую l и на ней орт `е. Этот орт порождает на прямой l семейство векторов, лежащих на этой прямой: . При l > 0 `а `е, при l < 0 `а `е, значит, орт`е определяет на прямой l два противоположных направления.

Прямая, на которой выбрано направление, называется осью, а орт, задающий это направление, называется ортом оси. Направление, сонаправленное с направлением орта, называется положительным, противоположное направление – отрицательным. Орт также определяет на оси масштаб и начало отсчета (точку его приложения). Проекция вектора на ость есть проекция вектора на орт оси:

Если в пространстве V³ выбрана точка О и произвольный базис { } с началом в точке О, то четверку {O, } называют репером. Говорят, что в V³ задана декартова система координат (афинная система координат), если в нем задан репер и с каждым вектором репера связана ось, называемая координатной осью. Первая из этих осей, соответствующая вектору `е₁, называется осью абсцисс, вторая – осью ординат, третья – осью аппликат. Обозначают систему координат обычно ОХУZ. Тогда каждой точке М трехмерного пространства ставится в соответствие тройка чисел М(х, у, z) – координат вектора (радиус-вектора этой точки) в базисе { }.

Аналогично вводится понятие системы координат на плоскости .

Обозначим `i, `j, `k – взаимно перпендикулярные единичные векторы: , `i ^`j ^`k . Очевидно, эти векторы образуют базис в V³.Базис называется ортонормированным. Декартова система координат, порожденная репером {О,`i, `j, `k }, называется декартовой прямоугольной системой координат. Таким образом:

Декартовой прямоугольной системой координат в трехмерном пространстве называют совокупность

- некоторой точки О, называемой началом координат;

- ортонормированного базиса .

В дальнейшем мы будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат (ДПСК).

В декартовой прямоугольной системе координат координаты вектора = (а_x, a_y, a_z) равны соответственно проекциям этого вектора на координатные оси: а_x = , a_y = , a_z = .

Базисные векторы `i, `j, `k в ДПСК имеют координаты

`i = (1, 0, 0) `j = (0, 1, 0) `k = (0, 0, 1) в V³,

`i = (1, 0) `j = (0, 1) в V².

Рассмотрим произвольный вектор ÎV³, углы, которые этот вектор образует с осями координат (или с базисными ортами `i, `j, `k) обозначим a = , b = , g = (рис.6). Косинусы этих углов cosa, cosb, cosg называются направляющими косинусами вектора . Направляющие косинусы заданного вектора обладают свойством

cos²a + cos²b + cos² g = 1.

Они характеризуют направление вектора относительно ДПСК.

Если известны координаты точек А(х_А, у_А, z_A) и B((х_B, у_B, z_B) – начала и конца вектора , то координаты этого вектора находят по правилу «от координат конца вектора отнять соответствующие координаты начала»:

= (х_B – х_А , у_В – у_А, z_B – z_A).