Дифракция в параллельных лучах (фраунгофера)

Дифракция на щели. При освещении щели пучком параллельных лучей, падающих нормально, каждая точка щели становится источником вторичных когерентных волн. Волны, идущие под углом j к первоначальному направлению, собираются в точке Р в фокальной плоскости линзы L и интерферируют. Дифракционная картина от щели – чередование светлых и темных полос (максимумов и минимумов освещенности).

Условие максимума .

Условие минимума .

Здесь b – ширина щели, j – угол дифракции, k = 1, 2,... – порядок максимума (минимума), l – длина волны.

Интенсивность в точке экрана, положение которой определяется углом дифракции j: ,

где I₀ – интенсивность света в центре дифракционной картины.

Дифракционная решетка – система узких параллельных щелей, разделенных непрозрачными промежутками. b+c=d – период (постоянная) решетки; b - ширина щели, c - ширина непрозрачного промежутка.

Дифракционная картина от решетки – узкие яркие полосы на темном фоне (главные максимумы).

Условие главного максимума ,

где m – порядок главного максимума.

Характеристики решетки как спектрального прибора:

угловая дисперсия ;

dj – угловое расстояние между двумя линиями в спектре данного порядка с разностью длин волн dl.

линейная дисперсия ;

dl – линейное расстояние между двумя линиями в спектре данного порядка; F – фокусное расстояние линзы;

разрешающая способность

dl – минимальная разность длин волн двух линий в спектре данного порядка при условии. что эти линии видны раздельно; N – число щелей в решетке;

Угловое расстояние между двумя точками, разрешаемыми телескопом: , где D – диаметр объектива.

Расстояние d, разрешаемое объективом микроскопа: где l – длина световой волны, n – показатель преломления среды (между предметом и объективом), a – половина угла между лучами, идущими от объекта к краям объектива.

Примеры решения задач.

Задача 1. На щель шириной 2.10^-3 см падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 5.10^-5 см. Найти ширину изображения щели на экране, удаленном от щели на расстояние 1 м. Шириной изображения считать расстояние между первыми дифракционными минимумами, расположенными по обе стороны от главного максимума освещенности.

Дано: b =2.10^-5м, l =5.10^-7 м, l =1 м.

Найти: d –?

Решение. Дифракционная картина от щели – чередование максимумов и минимумов освещенности (светлых и темных полос). В центре картины - светлая полоса или расширенное изображение щели. d =|AB| - ширина изображения щели. Точки А и В определяют положения минимума первого порядка, которые определяются из условия: , где k =1. Отсюда: . Из DОАВ: , но для малых углов , следовательно: ; d =5.10^-2 (м)=5 см. Ответ: d = 5 см.

Задача 2. На дифракционную решетку, имеющую 500 штрихов на 1 мм, нормально падает белый свет. Непосредственно за решеткой помещена линза с фокусным расстоянием 2 м, проецирующая спектры на экран. Диапазон длин волн видимого спектра l_ф=400 нм, l_кр=700 нм. а) Могут ли перекрываться спектры первого и второго порядка? б) Во сколько раз спектр второго порядка на экране длиннее спектра первого порядка? в) Какова разность углов отклонения конца первого и начала второго порядка?

Дано: n=500 =5,10⁵ , F=2 м, l_ф=4.10^-7м, l_кр=7.10^-7 м

Найти: а) б) в)

Решение. При освещении решетки белым светом на экране наблюдаем дифракционный спектр – все максимумы, кроме нулевого, цветные полосы, обращенные фиолетовым концом к нулевому максимуму. Положения максимума определяются из условия , где d - период решетки: (расстояние между соседними штрихами). Чтобы узнать, перекрываются ли спектры первого и второго порядков, определим углы дифракции для красного конца спектра первого порядка и фиолетового конца спектра второго порядка и :

Так как – это означает, что спектры не перекрываются. По значениям углов определим разность углов отклонения: .

Длина спектра k-го порядка , где – углы дифракции, определяющие положение краев спектров, а углы дифракции находим из условия главных максимумов . Для спектра первого порядка j_ф=11,54^o, j_кр=20,5^o. Для спектра второго порядка j_ф’=23,6^o, j_кр’=44,4^o. Тогда .

Ответы: j₁ =20,5^o_, j₂=23,6^o, .

Задача 3. Определить ширину дифракционной решетки, которая позволила бы разрешить в спектре третьего порядка две линии натрия с длинами волн 589 нм и 589,6 нм. Постоянная решетки равна 5.10^-3 мм.

Дано: m= 3, l₁=5,89.10^-7 м и l=5,896.10^-7 м.

Найти: а –?

Решение. Разрешающая способность решетки , где - разность длин волн двух близко расположенных линий. Если максимум одной линии приходится на минимум соседней, эти линии будут видны раздельно, а , где N - число всех щелей. , так как d - расстояние между соседними щелями.

. Отсюда ; а =1,63.10^-3 м=1,63 мм.

Задачи для самостоятельного решения.

8.1. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны 400 нм падает нормально на щель шириной 20 мкм. За щелью помещена линза с фокусным расстоянием 50 см, с помощью которой можно наблюдать дифракционные полосы на экране. Определить расстояние между светлыми полосами первого и второго порядков.

8.2. На щель падает нормально параллельный пучок монохроматического света с длиной волны l. Ширина щели равна 6l. Под каким углом будет наблюдаться третий дифракционный минимум света?

8.3. На непрозрачную пластинку с узой щелью нормально падает монохроматический свет. Угол отклонения лучей, соответствующий второй светлой дифракционной полосе, равен 1^о. Скольким длинам волн падающего света равна ширина щели?

8.4. Каково наибольшее значение числа k (номер дифракционного максимума) для желтой линии натрия (l=589 нм) при нормальном падении лучей на щель шириной 2 мкм? Сколько всего наблюдается максимумов?

8.5. На щель шириной 10 мкм нормально падает монохроматический свет с длиной волны l=6.10^-7м. Определите значения интенсивностей первого, второго и третьего максимумов, приняв интенсивность нулевого максимума за единицу.

8.6. Монохроматический свет с длиной волны λ = 0.6 мкм падает на длинную прямоугольную щель шириной а = 12 мкм под углом α ₀ = 45⁰ к ее нормали. Определите угловое положение первых минимумов, расположенных по обе стороны центрального фраунгоферова максимума.

8.7. На дифракционную решетку, имеющую 200 штрихов на 1 мм, нормально падает свет от разрядной трубки с водородом. Под каким наименьшим углом дифракции максимумы линий l₁=410,2 нм и l₂=656,6 нм совпадают.

8.8. На дифракционную решетку длиной l = 15 мм, содержащую N = 3000 штрихов, падает нормально монохроматический свет с длиной волны λ = 550 нм. Определить: 1) число максимумов, наблюдаемых в спектре дифракционной решетки; 2) угол, соответствующий последнему максимуму.

8.9. Определите длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку, имеющую 300 штрихов на 1 мм, если угол между направлениями на максимумы первого и второго порядка составляет 12⁰.

8.10. Какой должна была бы быть толщина плоскопараллельной стеклянной пластинки (n = 1,55), чтобы в отраженном свете максимумы второго порядка для λ = 0,65 мнм наблюдался под тем же углом, что и у дифракционной решетки с постоянной d = 1 мкм.

8.11. Как изменится вид дифракционного спектра, если источник белого света, дифракционную решетку и экран (не меняя расстояний между ними) переместить из воздуха в воду? Рассмотрите также случаи, когда для получения дифракционного спектра используется стоящая за дифракционной решеткой собирающая линза

8.12. Две дифракционные решетки имеют одинаковую длину, но разное число штрихов. Как отличаются у этих решеток дисперсии, разрешающие способности?

8.13. В гониометре ГС5 используется дифракционная решетка, имеющая 600 штрихов на 1 мм длины. На каком расстоянии друг от друга будут находиться в фокальной плоскости объектива гониометра с такой решеткой две желтые линии излучения ртутной лампы (λ₁= 577нм, λ₂ = 589,6нм) в спектре первого порядка, если фокусное расстояние объектива зрительной трубы гониометра 27,3см.

8.14. Ширина решетки 15 мм, период решетки 5 мкм. В спектре какого наименьшего порядка получаются раздельные изображения двух спектральных линий с разностью длин волн 2.10^-10 м, если линии принадлежат диапазону крайней красной части видимого спектра (780 нм¸700 нм)?

8.15. На дифракционную решетку нормально падает пучок света от разрядной трубки. Чему должна быть равна постоянная дифракционной решетки, чтобы в направлении j=41^о совпадали максимумы двух линий: l₁=656,3 нм и l₂=4,102 нм?

8.16. Найти наибольший порядок спектра для желтой линии натрия l=589 нм, если постоянная дифракционной решетки равна 2 мкм. Сколько максимумов дает данная решетка?

8.17. Постоянная дифракционной решетки шириной в 2,5 см равна 2 мкм. Какую разность длин волн может разрешить эта решетка в области желтых лучей (l=6.10^-5) в спектре второго порядка?

8.18. Угловая дисперсия дифракционной решетки для l=667 нм в спектре первого порядка равна 2,02.10⁵ рад/м. Найти период дифракционной решетки.

8.19. На каком расстоянии друг от друга будут находиться на экране две линии ртутной дуги (l₁=577 нм и l₂=575,1 нм в спектре первого порядка, полученном при помощи дифракционной решетки с периодом 2.10^-4 см? Фокусное расстояние линзы, проектирующей спектр на экране, равно 0,6 м.

8.20. На дифракционную решетку нормально падает пучок света. Красная линия (l=630 нм) видна в спектре третьего порядка под углом j=60^о. 1) Какая спектральная линия видна под этим же углом в спектре четвертого порядка? 2) Какое число штрихов на 1 мм длины имеет дифракционная решетка? 3) Чему равна угловая дисперсия этой решетки для линии l=630 нм в спектре третьего порядка?

8.21. Какое фокусное расстояние должна иметь линза. проектирующая на экран спектр, полученный при помощи дифракционной решетки, чтобы расстояние между двумя линиями калия 404,4 нм и 404,7 нм в спектре первого порядка было равно 0,1 мм? Постоянная дифракционной решетки равна 2 мкм.

8.22. На плоскую дифракционную решетку с периодом 5.10^-3мм нормально падает пучок монохроматического света. Угол между направлениями лучей, дающих максимумы первого порядка справа и слева от центральной полосы дифракционной картины, равен 13^о48’. Определить длину волны падающего света.

8.23. Вычислить наибольший угол, на который может отклониться пучок монохроматического света дифракционной решеткой, имеющей 10 000 штрихов при ширине решетки 4 см. Длина волны падающего света 546 нм. Длина волны падающего света 546 нм. Лучи падают нормально к плоскости решетки.

8.24. Две лампы установлены на расстоянии 20 см друг от друга. С какого расстояния их можно различать в телескопе с диаметром объектива 15 см? Принять, что глаз наиболее чувствителен к длине волны 0,55 мкм.

8.25. Вычислить наибольший разумный диаметр объектива телескопа и наименьшее угловое расстояние между двумя звездами, изображение которых получается раздельно на фотографической пластинке, поставленной в фокальной плоскости объектива телескопа. Фокусное расстояние объектива 2 м. Размер зерна эмульсии фотографической пластинки 0,01 мм. Длина волны света 0,55 мкм.

8.26. Какова должна быть длина дифракционной решетки с периодом 300 штрихов на 1мм, чтобы разрешить две спектральные линии с длинами волн 600нм и 600,05нм в спектре второго порядка? В спектре наивысшего порядка?

8.27. Луч лазера падает на дифракционную решетку перпендикулярно ее плоскости, Отношение х ₀₁: х ₁₂ – расстояний между нулевым и первым (х ₀₁) и между первым и вторым (х ₁₂) дифракционными максимумами на удаленном от решетки экране примерно равно.

8.28. В темной комнате на столе стоит газоразрядная лампа, излучающая вертикальную полоску красного свечения. Если посмотреть на лампу через стеклянную призму спектроскопа отчетливо видны уже три цветные линии: красная, оранжевая и голубая. Далее смотрим на лампу через дифракционную решетку, расположив штрихи решетки вертикально. Что в этом случае можно увидеть? Обоснуйте свои выводы.