Очевидно, что при перемещении вектора его проекция не меняется

Вспомним школу. Рассмотрим прямоугольный треугольник. Косинусом острого угла называется отношение прилежащего катета к гипотенузе. В данном случае:

С другой стороны, у нас уже получена формула косинуса угла между векторами:

Таким образом:

Сокращаем знаменатели обеих частей на и получаем формулу для вычисления проекции:

Формула выведена, распишем её в координатах:

Если векторы плоскости и , заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:
.

Если векторы пространства , заданы в ортонормированном базисе , то проекция вектора на вектор выражается формулой:

Пример 18

Найти проекцию вектора на вектор

Решение в одну строчку:

Ответ:

Проекция – это ДЛИНА, поэтому обязательно указываем размерность. Длина, конечно, своеобразная, в случае тупизны угла между векторами к ней добавляется знак «минус».

В задачах приходится находить не только проекцию вектора на вектор, но и проекцию отрезка на отрезок, отрезка на прямую и т.д. Но, так или иначе, в решении используются векторы!

Пример 19

Треугольник задан своими вершинами . Найти:
а) проекцию стороны на сторону ;
б) проекцию стороны на сторону .

Это задача для самостоятельного решения. Решение и ответ в конце урока.

Выясним геометрический смысл координат векторов в ортонормированном базисе: