Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Как определить коллинеарность векторов плоскости?
Типовая вещь. Для того чтобы два вектора плоскости были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были пропорциональны . По существу, это покоординатная детализация очевидного соотношения . Пример 1 а) Проверить, коллинеарны ли векторы . Решение: Обязательно расскажу о «пижонской» разновидности применения данного правила, которая вполне прокатывает на практике. Идея состоит в том, чтобы сразу составить пропорцию и посмотреть, будет ли она верной: Составим пропорцию из отношений соответствующих координат векторов: Сокращаем: Отношение можно было составить и наоборот, это равноценный вариант: Для самопроверки можно использовать то обстоятельство, что коллинеарные векторы линейно выражаются друг через друга. В данном случае имеют место равенства . Их справедливость легко проверяется через элементарные действия с векторами: б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Исследуем на коллинеарность векторы . Составим систему: Из первого уравнения следует, что , из второго уравнения следует, что , значит, система несовместна (решений нет). Таким образом, соответствующие координаты векторов не пропорциональны. Вывод: векторы линейно независимы и образуют базис. Упрощённая версия решения выглядит так: Составим пропорцию из соответствующих координат векторов : Обычно такой вариант не бракуют рецензенты, но возникает проблема в тех случаях, когда некоторые координаты равны нулю. Вот так: . Или так: . Или так: . Как тут действовать через пропорцию? (действительно, на ноль же делить нельзя). Именно по этой причине я и назвал упрощенное решение «пижонским». Ответ: а) , б) образуют. Небольшой творческий пример для самостоятельного решения: Пример 2 При каком значении параметра векторы будут коллинеарны? В образце решения параметр найден через пропорцию . Существует изящный алгебраический способ проверки векторов на коллинеарность., систематизируем наши знания и пятым пунктом как раз добавим его: Для двух векторов плоскости эквиваленты следующие утверждения: Соответственно, эквивалентны следующие противоположные утверждения: Я очень и очень надеюсь, что на данный момент вам уже понятны все встретившиеся термины и утверждения. Рассмотрим более подробно новый, пятый пункт: два вектора плоскости коллинеарны тогда и только тогда, когда определитель, составленный из координат данных векторов, равен нулю: . Для применения данного признака, естественно, нужно уметь находить определители. Решим Пример 1 вторым способом: а) Вычислим определитель, составленный из координат векторов : б) Два вектора плоскости образуют базис, если они не коллинеарны (линейно независимы). Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Ответ: а) , б) образуют. Выглядит значительно компактнее и симпатичнее, чем решение с пропорциями. Проверка векторов на коллинеарность – простая и очень распространенная задача аналитической геометрии. Нередко в условии заодно требуется проверить векторы и на ортогональность (базис в таких случаях, как правило, ортонормированный). Данное задание подробно рассмотрено на уроке Скалярное произведение векторов. С помощью рассмотренного материала можно устанавливать не только коллинеарность векторов, но и доказывать параллельность отрезков, прямых. Рассмотрим пару задач с конкретными геометрическими фигурами. Пример 3 Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является параллелограммом. Доказательство: Чертежа в задаче строить не нужно, поскольку решение будет чисто аналитическим. Вспоминаем определение параллелограмма: Таким образом, необходимо доказать: Доказываем: 1) Найдём векторы: Вычислим определитель, составленный из координат векторов : 2) Найдём векторы: Получился один и тот же вектор («по школьному» – равные векторы). Коллинеарность совсем очевидна, но решение таки лучше оформить с толком, с расстановкой. Вычислим определитель, составленный из координат векторов : Вывод: Противоположные стороны четырёхугольника попарно параллельны, значит, он является параллелограммом по определению. Что и требовалось доказать. Больше фигур хороших и разных: Пример 4 Даны вершины четырёхугольника . Доказать, что четырёхугольник является трапецией. Для более строгой формулировки доказательства лучше, конечно, раздобыть определение трапеции, но достаточно и просто вспомнить, как она выглядит. Это задание для самостоятельного решения. Полное решение в конце урока. А теперь пора потихонечку перебираться из плоскости в пространство: Date: 2015-04-23; view: 1963; Нарушение авторских прав |