Евклидовы пространства

8.1. Какие аксиомы определяют скалярное произведение в евклидовом пространстве? Что они означают на языке билинейных форм? Приведите примеры скалярных произведений.

8.2. Что такое матрица Грама? Каковы ее свойства? Как записать с ее помощью скалярное произведение векторов? Может ли матрица Грама в некотором базисе иметь вид: а) ; б) ; в) ?

При положительном ответе найти , где

.

8.3. Что такое длина (норма) вектора в евклидовом пространстве? Каковы ее свойства? Что такое неравенство Коши–Буняковского? Когда оно превращается в равенство? Как выглядит неравенство треугольника, и почему оно так называется?

8.4. Как вычисляется угол между векторами? Почему это определение угла корректно? Какие векторы называются ортогональными? Скалярное произведение в базисе задается матрицей Грама . Будут ли ортогональны векторы и ; и ; и ? Каковы длины векторов ?

8.5. Что такое ортогональный, ортонормированный базисы в евклидовом пространстве? Как выглядит матрица Грама в ортогональном базисе, в ортонормированном? Как ищется скалярное произведение в ортонормированном базисе? Почему? Как выражаются через скалярное произведение координаты вектора в ортонормированном базисе?