Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теоретические упражнения





Упражнения 1, 4, 5, 6 - для всех вариантов; остальные задачи распределяются преподавателем.

 

1. Вывести формулу Саррюса для вычисления определителя третьего порядка, исходя из общего определения.

2. Вывести формулы Крамера для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, опираясь на теорему о разложении определителя по строкам и столбцам.

3. Доказать следующие следствия из аксиом линейного пространства L:

а) единственность противоположного элемента;

б) для любого ;

в) ; для любых ;

г) для любых .

4. Доказать, что линейно зависима всякая система векторов, которая содержит: а) нулевой вектор; б) два равных вектора; в) два пропорциональных вектора; г) линейно зависимую подсистему. Какое из этих утверждений самое общее? Показать, что всякая подсистема линейно независимой системы тоже линейно независима.

5. Найти размерность и указать какой-нибудь базис линейного пространства -всех прямоугольных матриц размера .

6. Доказать, что множество М образует линейное подпространство в пространстве всех прямоугольных матриц данного размера:

 

№ вар. М - множество всех матриц указанного вида
1-4, 14, 17, 27-30 а) решения матричного уравнения AX = 0 с данной матрицей А; б) матрицы, перестановочные с данной матрицей А n-го порядка (т.е. AX = XA)
5-7, 15, 16, 24-26 а) матрицы, антиперестановочные с данной матрицей А n-го порядка (т.е. AX = -XA); б) симметричные матрицы n-го порядка (т.е. XT = X)
8, 9, 22, 23 а) кососимметричные матрицы n-го порядка (т. е. XT = -X); б) верхнетреугольные матрицы n-го порядка с нулевым следом
  10, 11, 20, 21 а) матрицы n-го порядка с нулевыми суммами элементов вдоль главной и вдоль побочной диагонали; б) матрицы с одинаковыми суммами элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца
  12, 13, 18, 19 а) матрицы с нулевыми суммами элементов вдоль любой строки и вдоль любого столбца; б) матрицы с одинаковыми суммами элементов вдоль любой строки

 



 

7. Доказать дистрибутивность умножения прямоугольных матриц:

A(B + C) = AB + AC.

8. Доказать свойства транспонирования прямоугольных матриц:

а) (AT)T = A;

б) (AB)T = BTAT;

в) A = В×ВT - симметричная матрица;

г) пусть А, В - симметричные матрицы, тогда

А×В симметрична AB = BA;

д*) любую квадратную матрицу А можно единственным образом представить в виде А = В + С, где В - симметричная матрица , С -кососимметричная матрица.

9. Доказать свойства обратной матрицы:

а) единственность; б) (А-1)-1 = А; в) (АВ)-1 = В-1А-1.

10*. Пусть , - ( ) матрица. След матрицы trA - это сумма диагональных элементов: trA = a11 + a22 +×××+ a nn.

а) Доказать, что след произведения не зависит от порядка сомножителей:

trAB = trBA.

б) Доказать, что не существует матриц А и В таких, что АВ - ВА = Е, где Е - единичная ( )-матрица.

11*. Опираясь на теорему о дополнении базиса подпространства до базиса всего пространства, доказать, что для любого подпространства М линейного пространства L существует дополнительное подпространство N, такое, что: а) ; б) dimM + dimN = dimL; в) любой вектор , однозначно представим в виде , где .

 

 






Date: 2015-04-23; view: 517; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2020 year. (0.017 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию