Типовой расчет №1 охватывает

А.В. Ряднов

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

Москва - 2013

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

Кафедра «Высшая математика»

А.В. Ряднов

АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве учебного пособия для студентов всех технических специальностей

Москва - 2013

УДК 512 8

Р 98

Ряднов А.В. Алгебра и геометрия. – М.: МИИТ, 2013. – 65 с.

Контрольные задания являются типовыми расчетами по алгебре, предназначенными для студентов специальности «Компьютерная безопасность», а также всем тем в чью программу входят курс «Общая алгебра» и курс «Линейная алгебра». Список приведённых задач охватывает практически все темы систем линейных уравнений и терии линеных пространств. Типовые расчёты выполняются студентами в письменном виде и сдаются преподавателю до начала зачётной сессии. Вопросы к зачётам и экзаменам могут быть уточнены и дополнены лектором.

© МИИТ, 2013

Теоретические вопросы

Типовой расчет №1 охватывает

следующие темы:

1. Определители (см. [2; гл.1, §§ 1-6], [3; гл. 3, §§1, 4.1], [4; гл. I, §§ 2, 3, гл. VI, §§ 1, 2]). 1.1. Свойства определителей. Понятие определителя n -го порядка. Правило Саррюса для n = 2, 3. Основные свойства определителей.

1.2. Разложение определителя по строке и столбцу. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя по строке и столбцу и следствие из него. Треугольный и диагональный определители. Определитель Вандермонда. Решение систем по правилу Крамера.

2. Комплексные числа и многочлены (см. [1; §§5.3-5.5]; [2; гл. II §2]; [3; гл.1 §5]). 2.1. Понятие комплексного числа (к.ч.) Определение комплексных чисел и действия с ними. Алгебраическая запись к.ч., его геометрическое изображение. Модуль и аргумент, тригонометрическая форма к.ч. Умножение, деление к.ч. в тригонометрической форме.

2.2. Комплексные числа в показательной форме. Формулы Эйлера, показательная форма к.ч. Умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня из комплексного числа в показательной форме. Сопряжение комплексного числа и его свойства. Формула Муавра.

2.3. Разложение многочленов на множители. Сложение и умножение многочленов. Деление многочленов с остатком. Теорема Безу. Кратность корня. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с вещественными коэффициентами на линейные и квадратичные множители. Разложение многочлена на линейные множители.

3. Алгебра матриц (см. [2; гл. 1 §§ 7, 8]; [3; гл. 3 §2]; [4; гл. V §3]).

3.1. Умножение матриц. Сложение матриц и умножение их на числа. Умножение матриц и его свойства (роль единичной матрицы, дистрибутивность, транспонирование произведения, ассоциативность). Свойства умножения квадратных матриц. Теорема об определителе произведения квадратных матриц.

3.2. Обратная матрица. Определение обратной матрицы и ее свойства (единственность, обратная матрица для произведения). Критерий существования и вычисление обратной матрицы. Решение с ее помощью матричных уравнений и систем линейных уравнений.