Среда, как совокупность осцилляторов

Все среды, за исключением абсолютного вакуума, обладают дисперсией, т.е. зависимостью показателя преломления (либо фазовой скорости) электромагнитных волн от их частоты.

Дисперсия света возникает в результате вынужденных колебаний заряженных частиц - электронов и ионов – под действием переменного поля электромагнитной волны.

Все электроны, входящие в атом, можно разделить на периферийные, или оптические, и электроны внутренних оболочек. На излучение и поглощение света в оптической части спектра оказывают влияние практически одни только оптические электроны. Собственные частоты электронов внутренних оболочек слишком велики, их колебания в поле световой волны практически не возбуждаются. Поэтому в теории дисперсии ограничиваются рассмотрением одних только оптических электронов.

Для простоты предположим сначала, что в атоме есть всего один оптический электрон, и он рассматривается как затухающий гармонический осциллятор, колебания которого в поле световой волны описываются уравнением

,

где m - масса, e – заряд электрона, - квазиупругая возвращающая сила, - сила, соответствующая силе сопротивления при движении, пропорциональная скорости электрона и введённая для учёта поглощения света, E – напряжённость электрического поля, действующего на электрон. Магнитной силой e[ vB ] можно пренебречь, так как скорость v электрона пренебрежимо мала по сравнению со скоростью света (в показателе преломления величину m можно положить равной единице).

Если действующее на атом электрическое поле изменяется по гармоническому закону

то и электрон в атоме будет осциллировать с той же самой частотой, поэтому можно считать

.

Подставляя и , можно выразить через :

.

Индуцированный дипольный момент атома равен

.

где a(w) – атомная поляризуемость:

.

Если число атомов в единице объёма вещества равно N, то вектор поляризации P будет пропорционален Е:

,

а индукция

,

где диэлектрическая проницаемость e зависит от частоты w:

.

Функция e(w) получилась комплексной, так что показатель преломления тоже оказывается комплексным. Этого и следовало ожидать, так как в данной модели учтено поглощение света.

В газах, где N достаточно мал о, так что показатель преломления n близок к единице, данное выражение для n² можно представить в виде , где d - некоторое число, много меньшее единицы (оценка величины d для газа при нормальных условиях и w₀ – оптического диапазона даёт значение d» 10^-2). При этом условии можно написать

.

Введём комплексный показатель преломления в виде

,

где n_R и n_I – вещественные функции w

,

.

Электрическое поле монохроматической волны с частотой w, распространяющейся в направлении оси z, можно представить в виде

,

где отношение k/w связано с фазовой скоростью v_фаз и показателем преломления n следующим образом:

фазовая скорость волны равна с одной стороны v_фаз= w/k, с другой – v_фаз= c/ n. Отсюда k/w = n/ c и уравнение волны приобретает вид

.

Множитель представляет волну, бегущую со скоростью c/ n_R, т.е. n_R будет как раз то, что обычно считается показателем преломления. Но амплитуда этой волны с увеличением z экспоненциально убывает. Мнимая часть показателя преломления из-за потерь энергии в атомных осцилляторах приводит к ослаблению волны. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, так что

Интенсивность ~ .

Часто это записывается как

,

где b = 2w n_I /c – коэффициент поглощения (закон Бугера).

Таким образом, в данной теории содержится не только теория показателя преломления (дисперсии) вещества, но и теория поглощения света этим веществом.

В тех материалах, которые обычно считаются прозрачными, величина c/w n_I, имеющая размерность длины, оказывается гораздо больше толщины материала.

График зависимости n_R(ω)

Проведенный анализ позволяет изобразить примерный вид графика зависимости показателя преломления n_R(w) от циклической частоты w:

На участках AB и DE показатель преломления n_R(w) растет с ростом ω – дисперсия нормальная. На участке BCD показатель преломления n_R(w) падает с ростом w – дисперсия аномальная. Её трудно наблюдать из-за сильного поглощения.

График зависимости n(λ)

Так как длина волны λ и циклическая частота w величины, связанные обратно пропорциональной зависимостью w ~ 1/l, то график n(λ), соответствующий приведенному выше графику, будет иметь примерно следующий вид, где собственной частоте w₀ соответствует длина волны

l₀ = (2pv_фаз)/w₀