Производная сложной функции

Теорема 34. Пусть 1) ,

2) ,

Тогда 1)2)

Доказательство. Действительно, функция y = y(x) дифференцируема в точке х ₀, тогда по условию дифференцируемости функции y(x)

где α (D х) – б.м.ф. при D х →0, . В силу непрерывности функции y = y(x) в точке х ₀ имеем D у →0 при D х →0. Так как, функция z = z (y) дифференцируема в точке y₀ = y(x₀), поэтому

где β (D y) – б. м.ф. при D у →0. Учитывая, что приращение D у зависит от D х, то и функция β (D y) зависит от Dx, поэтому β(Dу) при D х →0. Разделим равенство на , получим. равенство

.

При D х →0, D у →0 и β(Dу) . Переходя к пределу при D х →0, получим

Окончательно, ч.т.д

Производная сложной функции равна произведению производных от функций, ее составляющих.

Пример 85. Найдем производную сложной функции

у = , где y = ln u, u = tg v, v= .

Тогда

y¢ (x)= y¢ (u)× u¢ (v)× v¢ (x)=

В дальнейшем при дифференцировании сложной функции не будем явно выписывать промежуточные переменные.

Пример 86. Найти производную функции y = cos x, как функцию сложной функции.

Решение. Действительно, y = cos x = sin , поэтому

у¢ = cos • =cos (-1) = - sin x. (cos x)¢ =

= -sin x