Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
|
Функция от случайных величин
Пусть — случайная величина. Пусть задана функция . Каждому элементарному исходу поставим в соответствие число по формуле . Тем самым получим случайную величину , называемую функцией от случайной величины . Пусть — дискретная случайная величина. Тогда случайная величина также является дискретной случайной величиной, поскольку она не может принимать больше значений, чем случайная величина . Очевидно, что ряд распределения случайной величины имеет вид:
При этом, если в верхней строке ряда распределения появляются одинаковые значения , то соответствующие столбцы необходимо объединить в один, приписав им суммарную вероятность. Пример 9. Случайная величина ξ имеет ряд распределения:
Найти закон распределения случайной величины . m Решение. Составим ряд распределения случайной величины :
Объединив первый и пятый, второй и четвертый столбцы, получим:
Ряд распределения случайной величины получен. l
Пусть — непрерывная случайная величина. При этом случайная величина может быть как непрерывной, так и дискретной. Будем рассматривать непрерывные функции . Пусть случайная величина имеет плотность . Тогда . (5.5.1)
Пример 10. Пусть случайная величина имеет плотность . Найти распределение случайной величины . m Решение. В данном случае . Согласно (5.5.1), получим . Очевидно, что при , функция распределения равна нулю, т.е. . При область совпадает с областью . Отсюда получаем . l
Выведем более удобные формулы для вычисления функции , где . Теорема. Пусть — непрерывная случайная величина с плотностью , а случайная величина связана с функциональной зависимостью , где — дифференцируемая функция, монотонная на всем участке возможных значений аргумента . Тогда плотность распределения случайной величины выражается формулой , (5.5.2) где — функция, обратная по отношению к функции . Доказательство. Пусть — монотонно возрастающая функция. Тогда . Продифференцировав последнее равенство, получаем . (5.5.3) Пусть — монотонно убывающая функция. В этом случае и, следовательно, . Отсюда получаем: Продифференцировав последнее равенство, получаем . (5.5.4) Учитывая свойства модуля, равенства (5.5.3) и (5.5.4) объединим в одно , что совпадает с (5.5.2). n
Пример 11. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти закон распределения случайной величины . m Решение. Функция в интервале монотонна, следовательно, можно применить формулу (5.5.2). Решение задачи удобно расположить в виде таблицы, содержащей три столбца: в первом запишем план решения задачи; во втором столбце запишем обозначения функций, принятые в общем случае; в третьем — конкретные функции, соответствующие данному примеру:
Интервал , в котором лежат значения случайной величины , определяется областью значений функции для . l
Следствие из теоремы. Если — немонотонная функция, то обратная к ней функция неоднозначна, и плотность распределения случайной величины определяется в виде суммы стольких слагаемых, сколько значений (при данном значении ) имеет обратная функция: , (5.5.5) где — значения обратной функции для данного . Пример 12. Случайная величина распределена равномерно в интервале . Найти плотность распределения случайной величины .
m Решение. Функция немонотонная в интервале , ее значения лежат в интервале (0,1). В данном случае для любого обратная функция будет иметь два значения:
. l
|