Розв'язання. 1) Закодуємо повідомлення 1011 довжиною k=4 символи

1) Закодуємо повідомлення 1011 довжиною k =4 символи.

Цій послідовності відповідає многочлен степеня k-1 m (x)= 1 ×x⁰+ 0 ×x¹+ 1 ×x²+ 1 ×x³= 1 +x²+x³.

Поліноміальний код повідомлення утворюється множенням многочлена інформаційної послідовності на твірний поліном коду.

За умовою задачі використовується поліноміальний код з твірним многочленом 5-го степеня і кодується повідомлення, якому відповідає многочлен 3-го степеня. У результаті одержуємо кодовий поліном u (x) степеня n-1 – у даному випадку 8-го степеня, що визначає послідовність довжиною n= 9 бітів:

u(x)=m(x)×g(x)= (1+x²+x³)×(1+x⁴+x⁵)= 1+ x²+ x³+ x⁴+ x⁵+ x⁶+

+ (1+1)x⁷+ x⁸= 1+ x²+ x³+ x⁴+ x⁵+ x⁶+ x⁸.

Отриманому многочлену u(x)= 1+x²+x³+x⁴+x⁵+x⁶+x⁸= = 1 × x ⁰ + 0 × x ¹ + 1 × x ² + 1 × x³ + 1 × x ⁴ + 1 × x ⁵+ 1 × x ⁶ + 0 × x ⁷+ 1 × x ⁸ відповідає вектор u= (101111101), отже, задане інформаційне повідомлення кодується так: (1011) ® (101111101).

Твірна матриця коду має розмірність (n-k) ´ n і таку структуру:

,

де через g₀, g₁, …, g_n-k-1 позначені коефіцієнти твірного многочлена коду.

У даному випадку маємо (4, 9)- код, твірна матриця якого має вигляд

.

Закодуємо задане повідомлення за допомогою твірної матриці:

u=m ´ G= (1011)´ =(101111101).

Одержали кодову послідовність (1011) ® (101111101).

2) Закодуємо повідомлення m= (11001100).

Кількість інформаційних елементів у повідомленні k =8.

Кількість перевірних елементів r=n-k визначається степенем твірного полінома коду – у даному випадку r =5.

Довжина кодового слова n=k+r= 8+5=13.

Многочлен інформаційного повідомлення m= (11001100) такий: m(x)=1×x⁰+1×x¹+0×x²+0×x³+1×x⁴+1×x⁵+0×x⁶+0×x⁷= 1+x+x⁴+x⁵.

Його кодовий поліном u(x) має степінь n-1= 12 і визначається так:

u(x)=m(x)×g(x)=(1+x+x⁴+x⁵)(1+x⁴+x⁵)= 1+x+x⁵+x⁶+x⁸+x¹⁰.

Отриманий многочлен u(x)= 1 × x ⁰ + 1 × x ¹ + 0 × x ² + 0 × x³ + 0 × x ⁴ + 1 × x ⁵+ 1 × x ⁶ + + 0 × x ⁷+ 1 × x ⁸ + 0 × x⁹ + 1 × x ¹⁰ + 0 × x ¹¹+ 0 × x ¹² визначає кодове слово u= (1100011010100).

Отже, задане інформаційне повідомлення кодується так:

(11001100) ® (1100011010100).

Твірна матриця даного (8, 13)- коду має вигляд

.

Відповідь: (1011) ® (101111101); (11001100) ®® (1100011010100).

Приклад 2 Циклічний код заданий твірним поліномом g(x)=1+x+x ³. Закодувати цим кодом комбінацію 0111. Виправити помилку в комбінаціях коду 0110111, 1101010.