Розв'язання. Кількість бітів, необхідна для кодування 8 повідомлень різними комбінаціями двійкового коду, визначається з нерівності

Кількість бітів, необхідна для кодування 8 повідомлень різними комбінаціями двійкового коду, визначається з нерівності

N £ 2^k,

де N – об'єм алфавіту джерела повідомлень; k – довжина кодової комбінації у бітах.

Звідки випливає, що k³ log₂ N.

У даному випадку для кодування N =8 повідомлень необхідна кількість бітів k ³ 3.

Довжина кодових слів при кодуванні лінійним блоковим кодом інформаційних повідомлень довжиною k символів n= k+r, де r – кількість перевірних символів, що додаються до інформаційного повідомлення для забезпечення можливості виявлення і/або виправлення помилок, що виникають при передачі по каналу зв'язку із завадами.

Знайдемо кількість перевірних розрядів r, необхідну для виправлення помилок кратності l = 1.

Для того щоб лінійний блоковий код міг виправляти помилки кратності не більшої l, необхідно і достатньо, щоб найменша кодова відстань між його словами d_min відповідала нерівності

d_min ≥ 2 l+ 1.

У даному випадку для виправлення помилок ваги l= 1 мінімальна кодова відстань d_min ³ 3.

r³ 2 d_min - 2 – log₂ d_min.

У даному випадку необхідна кількість перевірних елементів r = ù 2×3 – 2 – log₂ 3 é» ù 4 – 1,585 é= 3.

Тоді довжина кодового слова n= k+r = 3+3= 6.

Твірна матриця лінійного блокового коду складається із двох частин: інформаційної I_k×k (одиничної підматриці) і перевірної Р_{k ´ r}. Перевірна підматриця P_{k ´ (n-k)} будується підбором r -розрядних комбінацій з кількістю одиниць у рядку ≥ d_min - 1 і кодовою відстанню між рядками ≥d_min - 2. При цьомусі рядки твірної матриці лінійно незалежні, вага кожного кодового слова, що входить у твірну матрицю, і кодова відстань між ними ≥ d_min.

Наведемо можливий варіант твірної матриці лінійного блокового (3,6)-коду:

.

I_k×k P_{k ´ (n-k)}

P ^T _(n-k)´-k I ^T _k×k

S = y´H ^T,

де y – прийнята кодована послідовність; H ^T - транспонована перевірна матриця.

Обчислимо синдром прийнятого вектора y:

S = (101111) ´ = (100) ¹ 0 - значення синдрому збігається із 4 -м стовпцем перевірної матриці H, отже, помилка виникла в 4 - му розряді.

Виправляємо помилку і декодуємо кодове слово так:

(101111) ® (101011) ® (101).

Задачі до розділу 10

1 Перевірна матриця лінійного блокового (3, 6)- коду має вигляд

.

Побудувати твірну матрицю і систему перевірних рівнянь коду. Визначити синдром виправлення однократних помилок в комбінаціях коду. Навести приклад виявлення і виправлення помилки кодом.

2 Перевірна матриця лінійного блокового (3, 6)- коду має вигляд

.

Побудувати твірну матрицю коду. Закодувати повідомлення 101, 001. Використовуючи синдром, визначити помилку (якщо вона є) і декодувати послідовності 011001; 110100; 001111.

3 Лінійний блоковий код заданий твірною матрицею вигляду

.

Побудувати перевірну матрицю коду. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок цим кодом. Побудувати таблицю кодів. Навести приклад виявлення і виправлення помилки кодом.

4 Перевірна матриця коду має вигляд

.

Побудувати твірну матрицю коду. Визначити мінімальну кодову відстань Хеммінга і можливості коду виявляти і виправляти помилки. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок кодом. Навести приклад виявлення і виправлення помилки.

5 Твірна матриця лінійного блокового коду має вигляд

.

Побудувати перевірну матрицю коду. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок кодом і його можливості виявляти і виправляти помилки. Навести приклад виправлення помилки.

6 Твірна матриця лінійного блокового (4, 7)- коду має вигляд

.

Побудувати перевірну матрицю коду й закодувати комбінації 0010, 1010, 1110. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок в комбінаціях заданого коду. Навести приклад виправлення помилки. Скільки помилок можна виявити/ виправити цим кодом?

7 Перевірна матриця лінійного блокового (4, 7)- коду має вигляд

.

Побудувати твірну матрицю коду. Закодувати комбінації 0010, 1010, 1110. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок в комбінаціях заданого коду. Виправити помилку і декодувати послідовності 1010101, 0010101. Визначити можливості коду виявляти і виправляти помилки.

8 Перевірна матриця лінійного блокового (4, 7)- коду має вигляд

.

Використовуючи синдром, визначити помилку і декодувати прийняті комбінації 0110010, 1101001, 0111100, 0011110.

9 Твірна матриця лінійного блокового коду має вигляд

.

Визначити, які з комбінацій 1101001, 0110011, 0111100, 0011110 містять помилку, виправити їх і декодувати.

10 Розглянути лінійний блоковий (k, n)-код, кодове слово якого утворюється за правилом u= (x₁, x₂, x₃, x₄, x₁+x₃+x₄, x₁+x₂+x₄, x₂+x₃+x₄). Визначити перевірну матрицю коду і параметри n, k. Чому дорівнює мінімальна кодова відстань отриманого коду?

11 Розглянути лінійний блоковий (k, n)-код, кодове слово якого утворюється за правилом u= (x₁, x₂, x₃, x₄, x₁+x₂, x₃+x₄, x₁+x₃, x₂+x₄, x₁ + x₂ + x₃ + x₄). Побудувати твірну матрицю коду.

12 Побудувати твірну матрицю лінійного блокового коду, здатного виправляти поодинокі помилки при передачі 16 повідомлень. Визначити синдром виправлення поодиноких помилок кодом. Навести приклад виявлення і виправлення помилки.

Розділ 11 КОД ХЕММІНГА

Найпоширенішими систематичними лінійними блоковими кодами є коди Хеммінга, до яких належать коди з мінімальною кодовою відстанню d_min =3, здатні виправляти поодинокі помилки.

При передачі кодового слова по каналу зв'язку можливе виникнення однократної помилки у будь-якому з його елементів. Кількість таких ситуацій дорівнює n. Отже, для того щоб визначити місце виникнення помилки, кількість різних комбінацій перевірних елементів повинна перевищувати кількість можливих помилкових ситуацій в коді плюс ситуація, коли помилки немає, тобто повинна виконуватися нерівність

. (3.9)

З цієї нерівності випливає мінімальне співвідношення перевірних і інформаційних розрядів, необхідне для виправлення кодом поодиноких помилок

. (3.10)

Для розрахунку основних параметрів коду Хеммінга можна задатися кількістю перевірних елементів r, тоді довжина кодових слів , а кількість інформаційних елементів k=n-r. Співвідношення між r, n і k зручно подати у вигляді такої таблиці (табл. 3.3).

Таблиця 3.3

Характерною властивістю перевірної матриці лінійного блокового коду з d_min = 3 є те, що її стовпці являють собою різні ненульові комбінації завдовжки r.

Хеммінгомзапропоновано розміщувати стовпці перевірної матриці так, щоб i -й стовпець матриці, що відповідає номеру i помилкового розряду кодової комбінації,був двійковим поданням цього номера. Тоді синдромвиправлення однократних помилок кодом Хеммінга є двійковим поданням номера розряду, в якому виникла помилка. Для цього перевірні розряди, що відповідають стовпцям одиничної підматриці перевірної матриці коду, повинні знаходитися не в правій частині кодового слова, а у позиціях з номерами степеня двійки, тобто 2⁰, 2¹, 2²,…, .

Наприклад, для r =3 перевірна матриця Хеммінга має вигляд

.

Для даного лінійного блокового (4, 7)- коду перший, другий, четвертий розряди (u₁, u₂, u₄) будуть перевірними, а третій, п'ятий, шостий і сьомий розряди (u₃, u₅, u₆, u₇) - символами інформаційного повідомлення у звичайному порядку, тобто (m₁, m₂m₃, m₄) відповідно.

Отже, для (k, n)- коду Хеммінга в кожному кодовому слові u =(u₁, u₂, u₃, u₄, …, u₈, … u_n), r = n-k бітів з номерами степеня двійки є перевірними, а інші – бітами повідомлення, тобто кодування здійснюється так:

E (m₁, m₂, …, m_k) =(u₁, u₂, …, u_n) =(r₁, r₂, m₁, r₃, m₂, m₃, m₄, r₄,

m₅, m₆, …, m_k).

Перевірна матриця (k, n)- коду Хеммінга складається із r рядків і стовпців, що є двійковими комбінаціями числа i, де i - номер стовпця. Наприклад, для r = 2, 3, 4 перевірні матриці коду Хеммінга мають вигляд

; ;

.

Синдром, що визначає систему перевірних рівнянь коду, знаходиться із рівняння

u ´ = 0.

Наприклад, для r = 3 система перевірних рівнянь буде така:

Звідси визначають перевірні розряди (контрольні суми)

Щоб закодувати повідомлення m ® u, значеннями розрядів u_i, де i не дорівнює степеню двійки, будуть відповідні біти повідомлення у тому самому порядку, а перевірні розряди з індексами степеня двійки знаходяться з системи перевірних рівнянь. У кожне рівняння системи входить тільки одна контрольна сума.

Приклад 1 Закодуємо повідомлення m= (0111) (4, 7)-кодом Хеммінга.

Кодовим словом для заданого повідомлення m буде послідовність u= (u ₁ u ₂ 0 u ₄ 1 1 1), де u ₁, u ₂, u ₄ - контрольні суми r₁, r₂, r₃ відповідно.

Знаходимо контрольні суми з системи перевірних рівнянь:

r₁ = u₁ = u₃ + u₅ + u₇ = m₁ + m₂ + m₄ =0+1+1=0, r₂ = u₂ = u₃ + u₆ + u₇ = m₁ + m₃ + m₄ = 0+1+1=0, r₃ = u₄ = u₅ + u₆ + u₇ = m₂ + m₃ + m₄ = 1+1+1=1.

Отже, кодовим словом буде послідовність u= (0001111).

Декодування коду Хеммінга здійснюється у такий спосіб. Обчислюється синдром прийнятої послідовності y:

S = y ´ ,

де - перевірна матриця коду. Якщо синдром нульовий вектор, то вважається, що слово передане без помилок, інакше значення синдрому відповідає двійковому поданню номера помилкового розряду. У цьому випадку потрібно змінити значення помилкового біту, нумеруючи біти зліва направо, починаючи з 1.

Приклад 2 Повідомлення кодується (4, 7)- кодом Хеммінга. Декодуємо прийняту послідовність y= (0011111).

Обчислюємо синдром прийнятого вектора:

y ´ = (0011111)´ = (011)₂ = 3 ₁₀ - помилка виникла у 3-му біті.

Виправляємо помилку, змінюючи значення у помилковому біті: (00 1 1111) ® (0001111).

Передане повідомлення декодується так:

D (u₁, u₂, u₃, u₄, u₅, u₆, u₇)= D (0001111)=(0111).

Твірна матриця ( k, n )- коду Хеммінга - це матриця(k × n), в якій стовпці з номерами нестепеня 2 утворюють одиничну підматрицю, а решта стовпців визначається з перевірних рівнянь коду. Така матриця при кодуванні копіюватиме біти повідомлення у позиції з номерами нестепеня 2 і заповнюватиме інші позиції коду згідно з перевірним рівнянням знаходження відповідного контрольного розряду.

Приклад 3 Система перевірних рівнянь (4, 7)- коду Хеммінга має вигляд:

r₁ = u₁ = u₃ + u₅ + u₇ = m₁ + m₂ + m_{4 ,}

r₂ = u₂ = u₃ + u₆ + u₇ = m₁ + m₃ + m₄,

r₃ = u₄ = u₅ + u₆ + u₇ = m₂ + m₃ + m₄.

Відповідно твірна матриця даного коду така:

.

Зразки розв'язування задач до розділу 11

Приклад 1 Закодувати повідомлення 11001010110 двійковим кодом Хеммінга. Побудувати твірну матрицю коду. Навести приклад виправлення помилки і декодування повідомлення. Визначити надлишковість коду.

Date: 2015-11-15; view: 1012; Нарушение авторских прав