К хорошо построенному языку

Общие идеи, образование которых мы объяснили, составляют часть полной идеи каждого из индивидов, которым они соответствуют, и на этом осно­вании их рассматривают как част­ные идеи. Например, идея человека составляет часть пол­ных идей Петра и Павла, поскольку равным образом мы находим ее и в Петре, и в Павле.

Нет человека вообще. Значит, эта частная идея совсем не имеет реальности вне нас, а имеет ее только в нашем уме, где существует отдельно от полных, или индивидуаль­ных, идей, часть которых она составляет.

Она имеет реальность в нашем уме лишь потому, что мы рассматриваем ее как обособленную от каждой инди­видуальной идеи; на этом основании мы называем ее абстрактной, ибо «абстрактный» означает не что иное, как «обособленный».

Следовательно, все общие идеи являются также абстрактными идеями, и вы видите, что мы образуем их, когда берем в каждой индивидуальной идее то, что присуще всем.

Но какова, в сущности, та реальность, которую имеет общая и абстрактная идея в нашем уме? Это идея есть лишь имя (nom) а если она представляет собой нечто иное, она с необходимостью перестает быть абстрактной и общей.

Например, когда я думаю о человеке, я могу усматри­вать в этом слове одно лишь общее наименование (denomi­nation); в этом случае совершенно очевидно, что моя идея, так сказать, вписана в это имя, что она нисколько не выходит за его пределы и что, следовательно, она является не чем иным, как самим этим именем.

Напротив, если, думая о человеке, я усматриваю в этом слове нечто другое, а не просто наименование, то я в самом деле представляю себе человека; и в этом случае человек в моем уме, как и в природе, не может быть абстрактным и общим.

Значит, абстрактные идеи — это лишь наименования. Если бы мы непременно хотели подразумевать под ними нечто другое, мы были бы похожи на художника, который упорно желает нарисовать человека вообще и тем не менее всегда рисует лишь индивида ¹⁸.

Это соображение относительно абст­рактных и общих идей доказывает, что их ясность и точность зависят исключительно от порядка, в котором мы создали наименования классов, и что, следовательно, для определения этого вида идей есть только одно средство — хорошо построить язык.

Это соображение подтверждает то, что мы уже доказа­ли,— насколько необходимы для нас слова. Ибо если бы мы совсем не имели наименований, мы совсем не имели бы абстрактных идей; если бы мы совсем не имели абстракт­ных идей, мы не имели бы ни родов, ни видов; а если бы мы не имели ни родов, ни видов, мы не могли бы ни о чем рассуждать. Ведь если мы рассуждаем лишь с помощью этих наименований, то это новое доказатель-

ство того, что мы рассуждаем хорошо или плохо только с помощью этих наименований, а это — новое доказатель­ство того, что мы рассуждаем хорошо или плохо лишь потому, что наш язык хорошо или плохо построен. Значит, анализ научит нас рассуждать лишь постольку, поскольку, обучая нас определять абстрактные и общие идеи, он будет обучать нас хорошо строить наш язык; и все искусство рассуждать сводится к искусству хорошо говорить.

Следовательно, говорить, рассуждать, создавать себе общие, или абстрактные, идеи — это по существу одно и то же; и эта истина, будучи совершенно простой, могла бы сойти за открытие. Конечно, об этом не догадывались; это проявляется в манере говорить и рассуждать, в зло­употреблениях общими идеями, наконец, в трудностях, которые встречают в понимании абстрактных идей те, у кого их так мало.

Искусство рассуждать сводится к хорошо построенному языку лишь потому, что сам по себе порядок в наших идеях — это только субординация, существующая между, •названиями, данными родам и видам; и так как мы имеем новые идеи лишь потому, что образуем новые классы, очевидно, что определять идеи мы будем так же, как и сами классы. Тогда мы будем рассуждать хорошо, потому что аналогия будет руководить нами в наших суждениях, так же как и в понимании слов.

Будучи убеждены в том, что клас­сы — это лишь наименования, мы и не подумаем, что в природе существу­ют роды и виды, и увидим в словах роды и виды лишь способ классифи­цировать вещи соответственно отношениям, в которых они находятся к нам или друг к другу. Мы признаем, что можем открыть только эти отношения, и не станем думать, будто можем сказать, каковы вещи сами по себе. Таким образом, мы избегнем множества заблуждений. Если мы заметим, что все эти классы необходимы нам только потому, что, для того чтобы составить себе отчетли­вые идеи, нам нужно расчленить предметы, которые мы хотим изучить, мы не только признаем ограниченность нашего ума, но увидим также, где проходят его границы, и не будем помышлять переступить их. Мы не будем погружаться в бесполезные вопросы. Вместо поисков того, чего мы не можем найти, мы будем искать то, что нам доступно. Для этого нужно будет лишь образовать точные

идеи, а это мы сумеем сделать, если сумеем пользоваться словами.

Ведь мы сумеем пользоваться словами, когда, вместо того чтобы искать в них сущности, которых мы не могли в них предполагать, будем искать в них только то, что мы в них предположили,— отношения, в которых вещи находят­ся к нам и друг к другу,

Мы сумеем ими пользоваться, когда, рассматривая их относительно границ нашего ума, будем считать их только средством, в котором мы нуждаемся, чтобы думать. Тогда мы почувствуем, что определять выбор слов должна самая большая аналогия, что она должна определять все их значения. И мы по необходимости ограничим количество слов настолько, насколько это потребуется. Мы не будем без конца блуждать среди пустых различений, разделений, подразделений и иностранных слов, которые становятся варварскими в нашем языке.

Наконец, мы сумеем пользоваться словами, когда ана­лиз привьет нам навык искать их первоначальное зна­чение в их первом употреблении, а все другие значения — в аналогии.

Только этому анализу мы обязаны способностью абстрагировать и обобщать. Значит, он создаст языки, он дает нам точные идеи всех видов. Одним словом, именно благодаря анализу мы способны создавать искусства и науки. Скажем лучше, именно он их создал. Он сделал все открытия, а мы лишь следовали за ним. Воображение, которому приписывают все таланты, было бы ничем без анализа. Оно было бы ничем! Я ошибаюсь: оно было бы источни­ком мнений, предрассудков и заблуждений; и у нас были бы лишь нелепые мечты, если бы иногда воображение не направлялось анализом. В самом деле, создают ли что-нибудь другое писатели, которые имеют только воображе­ние?

Путь, который указывает нам анализ, отмечен рядом хорошо сделанных наблюдений, и мы идем по нему уверен­ным шагом, потому что всегда знаем, где находимся, и всегда видим, куда идем. Кроме того, анализ дает нам все, что может нам как-то помочь. Наш ум, столь слабый сам по себе, находит в нем всевозможные рычаги и наблюдает явления природы с такой же легкостью, как если бы он сам их упорядочил.

Но чтобы лучше судить о том, чем мы обязаны анализу, его нужно хоро­шо знать, иначе результат анализа покажется нам произведением во­ображения, потому что идеи, которые мы называем абстрактными, уже не относятся к чувствам и мы думаем, что они происходят не из чувств. И так как тогда мы не увидим, что у них общего с нашими ощущениями, мы вообразим, будто они суть что-то другое. Если нами завладеет это заблуждение, мы будем ослеплены относи­тельно их происхождения и формирования, мы не сможем увидеть, что они собой представляют, и тем не менее будем думать, что видим это; у нас будут лишь призраки. Идеи будут представляться нам сущностями, которые сами по себе имеют существование в душе, врожденными сущ­ностями, или сущностями, последовательно присоединен­ными к нашей сущности. В других случаях это будут сущности, которые существуют только в боге и которые мы видим только в нем ¹⁹. Подобные фантазии непременно уведут нас с дороги открытий, и мы пойдем от одного заблуждения к другому. Однако это системы, которые создает воображение; если однажды мы их примем, мы лишимся хорошо построенного языка и будем обречены рассуждать почти всегда плохо, потому что мы плохо рассуждаем о способностях нашего ума.

Как мы уже отметили, не так вели себя люди, вышед­шие из рук творца природы. Хотя тогда они искали, не зная, чего ищут, они искали хорошо и часто неосознанно находили то, что искали. Их потребности, которые дал им творец природы, и условия, в которые они были поставле­ны, вынуждали их наблюдать и часто предостерегали не давать воли своему воображению. Анализ, который созда­вал язык, создавал его хорошо, так как он всегда определял смысл слов. Язык, который не имел большого словаря, но был хорошо создан, вел к самым необходимым открытиям. К сожалению, люди не умели наблюдать, как они обучаются. Можно было бы сказать, что они способны делать хорошо только то, что они делают безотчетно; и философы, которые должны были бы прояснить этот вопрос, проявляя большую просвещенность, чем первые люди, часто искали, ничего не находя или впадая в заблуждение («Курс занятий», «Об искусстве мыслить», ч. II, гл. 5).

Недостатки языков заметны главным образом в словах, значение которых не определено, или в словах, не имеющих смысла. Люди хотели их устранить, и, так как есть слова, которые можно определить, они го­ворили, что нужно определить все слова. Соответственно с этим дефиниции рассматривались как основа искусства рассуждать.

Треугольник есть поверхность, ограниченная тремя линиями. Это — дефиниция. Если она дает о треугольнике идею, без которой невозможно определить его свойства, то, чтобы раскрыть свойства вещи, нужно подвергнуть ее анализу, а для этого ее нужно видеть. Подобные дефи­ниции, следовательно, лишь показывают вещи, которые собираются анализировать. Наши чувства также показыва­ют нам чувственные предметы, и мы их анализируем, хотя не смогли бы дать им дефиницию. Таким образом, необходимость определять есть лишь необходимость видеть вещи, о которых хотят рассуждать; и если их могут видеть, не определяя, то дефиниции становятся ненужными. Это самый обычный случай.

Несомненно, что для того, чтобы изучить вещь, мне нужно ее видеть, но, когда я ее вижу, мне остается только подвергнуть ее анализу. Значит, когда я открываю свойства поверхности, ограниченной тремя линия­ми, только анализ является принципом моих открытий, если требуются принципы; и эта дефиниция лишь показы­вает мне треугольник, составляющий предмет моих ис­следований, так же как мои чувства показывают мне чувственные предметы. Что же означает фраза Дефиниции суть принципы? Она означает, что прежде всего нужно видеть вещи, для того чтобы их изучить, и что нужно их видеть такими, каковы они на самом деле. Она означает только это, а тем не менее думают, что здесь говорится еще что-то.

Принцип есть синоним начала; именно в таком значе­нии это слово сперва употреблялось, но затем, привыкнув к нему, стали пользоваться им по привычке, машинально,

не связывая с ним идеи, и получили принципы, которые не являются началом чего бы то ни было.

Я скажу, что наши чувства — это принцип наших зна­ний, потому что знания начинаются именно с чувств, и тем самым я скажу нечто понятное. Не так будет обстоять дело, если я скажу, что поверхность, ограниченная тремя линия­ми, есть принцип всех свойств треугольника, потому что все свойства треугольника начинаются с поверхности, ограниченной тремя линиями. Ибо я предпочел бы также сказать, что все свойства поверхности, ограниченной тремя линиями, начинаются с поверхности, ограниченной тре­мя линиями. Одним словом, эта дефиниция меня ни­чему не учит; она лишь показывает мне вещь, которую я знаю и свойства которой может открыть мне только анализ.

Итак, дефиниции ограничиваются тем, что показывают вещи, но не всегда в равной мере освещают их. Душа есть субстанция, которая чувствует,— это дефиниция, показы­вающая душу весьма неполно всем тем, кого анализ не научил, что все ее способности в принципе, или в начале, представляют собой лишь способность чувствовать. Значит, не с такой дефиниции надо начинать рассуждение о душе. Ибо хотя все способности души по существу представляют собой способность чувствовать, эта истина не является для нас принципом, или началом, если, вместо того чтобы быть первым знанием, она оказывается последним. Ведь она — последняя, так как она есть результат анализа. Настроенные на то, чтобы все оп­ределять, геометры часто делают напрасные усилия и ищут дефини­ции, которых не находят. Такова, например, дефиниция прямой линии, ибо сказать вместе с ними, что она есть наикратчайшее расстояние между двумя точками,— значит не показать, что она собой пред­ставляет, а только предположить, что это известно. Однако, поскольку в языке геометров дефиниция составляет принцип, она не должна предполагать, что вещь известна. Вот подводный камень, из-за которого садятся на мель все создающие основы, к великому возмущению некото­рых геометров, сетующих на то, что еще не дана хорошая дефиниция прямой линии, и, по-видимому, не знающих, что не следует определять то, что неопределимо. Но если дефиниции ограничиваются тем, что.показывают нам вещи, то не все ли равно, происходит это до того,

как мы их познаем, или только после? Я думаю, важно лишь их познать.

Ведь люди были бы убеждены в том, что единственное средство познать вещи — анализировать их, если бы заме­тили, что лучшая дефиниция — это анализ. Например, дефиниция треугольника есть его анализ, так как не­сомненно, что для того, чтобы сказать, что треугольник представляет собой поверхность, ограниченную тремя линиями, нужно было рассмотреть одну за другой стороны этой фигуры и сосчитать их. Правда, этот анализ де­лается, так сказать, разом, потому что мы быстро считаем до трех. Но ребенок не сосчитал бы так же быстро, и тем не менее он проанализировал бы треугольник так же хорошо, как и мы. Он анализировал бы его медленно, подоб­но тому как мы сами дали бы дефиницию, или произвели анализ, фигуры с большим количеством сторон, считая мед­ленно.

Не будем говорить, что в наших исследованиях нужно иметь в качестве принципов дефиниции; скажем проще: нужно хорошо начать, т. е. видеть вещи такими, какие они есть; и прибавим, что для того, чтобы видеть их так, нужно всегда начинать с анализа.

Выражаясь подобным образом, мы будем говорить с большей точностью, и нам не доставят огорчений поиски дефиниций, которых не удается найти. Мы будем знать, например, что для того, чтобы приобрести знание о прямой линии, вовсе не обязательно определять ее по способу геометров, а достаточно обратить внимание на то, как мы приобрели идею прямой линии.

Так как геометрия — наука, которую называют точной, люди думают, что для того, чтобы хорошо разрабаты­вать все другие науки, нужно лишь копировать геометров, и мания определять подобно им стала манией всех философов, или тех, кто выдает себя за таковых. Откройте языковой словарь, и вы увидите, что для каждой статьи хотят дать дефиниции и что это плохо удается. Лучшие дефиниции, как, например, дефиниция прямой линии, предполагают, что значение слов извест­но; если же они ничего не предполагают, они непо­нятны.

Наши идеи являются либо простыми, либо сложными. Если они простые, их не станут определять; геометр безуспешно попробовал бы это сде­лать и потерпел бы здесь неудачу, как в случае с прямой линией. Но хотя их невозможно определить, анализ всегда покажет нам, как мы их по­лучили, поскольку он покажет, откуда они происходят и как поступают к нам.

Если же идея сложная, то и в этом случае только анализ позволит ее познать, потому что только анализ может, расчленяя ее, показать нам все частные идеи, из которых она состоит. Поэтому, каковы бы ни были наши идеи, только анализ может ясно и четко определить их. Однако всегда останутся такие идеи, которые не будут определены, или по крайней мере такие, которые нельзя будет определить так, чтобы всем угодить. Так как люди не смогли договориться о том, чтобы составить каждую идею одинаковым образом, идеи необходимо являются неопределенными. Такова, например, идея, которую мы обозначаем словом ум. Но хотя анализ не может опреде­лить, что мы понимаем под словом, которое не всеми понимается одинаково, он тем не менее определит все, что можно понимать под этим словом, не препятствуя тому, чтобы каждый понимал то, что ему угодно, как это и бывает; легче анализу исправить язык, чем нам исправить самих себя.

Наконец, только анализ исправит все то, что может быть исправлено, потому что он один может показать возникновение всех наших идей. Поэтому философы чрезвычайно заблуждались, когда отказались от анализа и думали возместить его дефинициями. Они заблуждались тем более, что не умели еще дать хорошую дефиницию самого анализа. Видя усилия, которые они прилагают к тому, чтобы объяснить этот метод, можно было бы сказать, что есть много таинственного в расчленении целого на части и в соединении его вновь; тем не менее достаточно наблюдать в определенном порядке. Посмотрите в «Эн­циклопедии» слово Анализ.

Именно синтез стал причиной мании дефиниций, этот неясный метод, который всегда начинает с того, чем нужно кончать; тем не менее его называют методом теории (methode de doctrine).

Я не буду давать более точное понятие о нем, как потому, что я его не понимаю, так и потому, что понять его невозможно. Он тем более ускользает от нас, что принимает все характерные черты умов, которые хотят его применять, и в особенности заблуждающихся умов. Вот как один известный писатель высказывается по этому вопросу. «Наконец,— говорит он,— эти два метода (анализ и син­тез) различаются между собой, как путь, который проде­лывают, поднимаясь из долины на гору, и путь, который проделывают, спускаясь с горы в долину» *. Из этого высказывания я вижу только, что анализ и синтез — два противоположных метода и что если один хорош, то другой плох.

В самом деле, идти можно только от известного к не­известному. Ведь если неизвестное находится на горе, то, не спускаясь, можно его достигнуть, а если оно в долине, то его нельзя будет достигнуть, поднимаясь. Значит, не может быть двух путей для его достижения. Подобные взгляды не заслуживают более серьезной критики («Курс занятий», «Об искусстве мыслить», ч. I, гл. 9).

Полагают, что сущность синтеза заключается в сое­динении наших идей, а сущность анализа — в их расчлене­нии. Вот почему автор «Логики» думает, что объясняет их, когда говорит, что один путь ведет из долины на гору, а другой — с горы в долину. Но чтобы хорошо или плохо рассуждать, обязательно нужно, чтобы ум то восходил, то опускался; или, проще говоря, для него так же важно соединять, как и расчленять, ибо ряд рассуждений являет­ся и не может не являться лишь рядом соединений и расчленений. Следовательно, цель синтеза — как расчле­нение, так и соединение, а цель анализа — как соедине­ние, так и расчленение. Было бы нелепо воображать, что эти две вещи взаимно исключают друг друга и что можно было бы рассуждать, запрещая себе всякое соединение или всякое расчленение. В чем же различаются эти два метода? В том, что анализ всегда начинает хорошо, а синтез всегда начинает плохо. Первый, не нарушая поряд­ка, обладает им естественно, так как является методом природы; второй, не знающий естественного порядка пото­му, что он метод философов, во многом его нарушает и утомляет ум, не просвещая его. Одним словом, истинный анализ, анализ, который следует предпочесть,— тот, кото-

* «Логика, или Искусство мыслить», ч. IV, гл. 2 ²⁰.

Хотя анализ есть единственный ме­тод, кажется, что сами математики, всегда готовые от него отказаться,

применяют его лишь постольку, поскольку вынуждены это делать. Они отдают предпочтение синтезу, который счита­ют более простым и более быстрым; а их сочинения о нем являются более путаными и длинными *.

Мы только что видели, что синтез как раз противополо­жен анализу. Он уводит нас в сторону от пути, ведущего к открытиям, тем не менее огромное количество математи­ков воображают, будто этот метод наиболее пригоден для обучения. Они считают его настолько хорошим, что не хотят допустить в своих учебниках другой метод.

Клеро думал иначе ²¹. Я не знаю, говорили ли господа Эйлер и Лагранж, что они думают по этому вопросу. Но они делали так, как если бы они об этом говорили, поскольку в своих основах алгебры они следуют только аналитическому методу **.

* Это обвинение, обоснованное в общем, не остается без исключе­ний. Например, господа Эйлер и Лагранж, склонные благодаря своей гениальности к наибольшей ясности и изяществу, предпочли анализ, который они усовершенствовали. В их сочинениях, полных изобретатель­ности, этот метод получил новый размах; они великие математики, потому что являются великими аналитиками. Они превосходно писали на алгебраическом языке, а из всех языков это такой, в котором хорошие писатели наиболее редки, так как он создан наилучшим образом.

** «Основы» г-на Эйлера²² не похожи ни на что из того, что было сделано его предшественниками. В первой части автор рассматрива­ет определенный анализ при помощи простого, ясного метода, которым он полностью владеет, Только теория уравнений излагается иногда слиш­ком кратко. Несомненно, г-н Эйлер пренебрег подробностями, которые столь часто повторялись другими; но это вызывает сетования у читателя, который хочет обучаться.

Столь мало известный во Франции неопределенный анализ, успеху которого так много способствовали господа Эйлер и Лагранж, является предметом второй части, представляющей собой шедевр и включающей добавления г-на Лагранжа. Превосходные качества этого произведения — результат аналитического метода, который оба этих великих ученых знают превосходно. Тем, кто его не знает, бесполезно писать об основах наук.

Одобрение, высказанное этими математиками, кое-что значит. Следовательно, другие математики были особенно настроены в пользу синтеза, раз они убедили себя в том, что анализ, "этот. метод изобретения, не есть еще метод теории, и что для того, чтобы узнать открытия других. якобы имеется способ более предпочтительный, нежели способ, позволивший нам сделать эти открытия.

Если анализ обычно изгоняется из математики каждый раз, когда в ней можно применить синтез, то, по-видимому, ему закрыт всякий доступ в другие науки и он вводится в них лишь без ведома тех, кто ими занимается. Вот почему среди множества произведений древних и совре­менных философов столь мало таких, которые были бы созданы для обучения. Истину редко узнают, когда анализ не показывает ее, а синтез, напротив, окутывает ее грудой неясных понятий, мнений, заблуждений и создает себе жаргон, который принимают за язык искусств и наук.

Если только поразмыслить над ана­лизом, следует признать, что он должен проливать тем больше света, чем он проще и точнее; и если вспомнить, что искусство рассуждать сводится к хорошо построенному языку, то следует заклю­чить, что наибольшая простота и точность анализа могут быть следствием наибольшей простоты и точности языка. Стало быть, нам нужно образовать идею этой простоты и точности, чтобы приблизиться к ним во всех наших ис­следованиях, насколько это будет возможно.

Точными науками называют науки, в которых имеется строгое доказательство. Почему же не все науки точные? И если есть среди них такие, где положения доказаны не строго, то как они там доказываются? Хорошо ли знают, что хотят сказать, когда предполагают доказательства, кото­рые, строго говоря, не являются доказательствами?

Доказательство либо не является доказательством, либо оно точное доказательство. Но нужно согласиться, что если оно не выражено в том языке, в каком оно должно быть выражено, то оно будет казаться тем, чем оно вовсе не является. Поэтому не вина наук, если они не доказывают строго; это вина ученых, которые плохо говорят.

Язык математики, алгебра,— самый простой из всех

языков. Не означает ли это, что доказательства имеются

только в математике? И поскольку другие науки не могут

достичь такой же простоты, смогут ли они быть достаточно

простыми, чтобы убеждать, что они действительно доказы­вают то, что доказывают?

Во всех науках доказывает анализ; и он доказывает там каждый раз, когда говорит на языке, на котором он дол­жен говорить. Я хорошо знаю; что различают разные виды анализа: логический анализ, метафизический, математический, но есть только один анализ, который одинаков во всех науках, потому что всюду ведет от известного к неизвестному путем рассуждения, т. е. путем ряда суждений, которые заключены одни в других. Мы составим себе идею языка, которого он должен при­держиваться, если попытается разрешить одну из задач, обычно разрешаемую только с помощью алгебры. Вы­берем одну из более легких задач, потому что она бу­дет для нас более доступна; к тому же такой задачи будет достаточно для того, чтобы раскрыть все искус­ство рассуждения.

Если, имея в обеих руках жетоны, я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь их

столько же в одной руке, сколько и в другой; а если я переложу один жетон из левой руки в правую, я буду иметь их в правой вдвое больше, чем в левой. Я спрашиваю вас: какое число жетонов у меня в каждой руке?

Дело не в том, чтобы угадать это число, делая предполо­жения,— его нужно найти, рассуждая, идя от известного к неизвестному путем ряда суждений.

Здесь даны два условия, или, как говорят математики, имеются два данных: первое — если я переложу один жетон из правой руки в левую, то я буду иметь одинако­вое число жетонов в каждой руке; второе — если я перело­жу один жетон из левой в правую, я буду иметь двойное число жетонов в правой. Ведь вы видите, что если возможно найти число, которое я вам предлагаю найти, то это можно сделать, лишь рассматривая отношения, в которых эти два данных находятся друг к другу. Вы поймете, что эти отношения будут более или менее явными в зависимости от того, насколько просто будут выражены данные.

Если бы вы сказали: «Число, которое вы имеете в правой руке, когда из него вычли один жетон, равно числу, которое вы имеете в левой руке, когда к нему прибавили один жетон», вы выразили бы первое данное при помощи большего количества слов. Скажите же короче: «Число в вашей правой руке, уменьшенное на единицу,

равно числу в вашей левой руке, увеличенному на едини­цу», или: «Число в вашей правой минус единица равно чис­лу в левой плюс единица». Или, наконец, еще короче: «Правая минус один равна левой плюс один».

Таким образом, от перевода к переводу мы достигнем самого простого выражения первого данного. Ведь чем больше вы будете сокращать свою речь, тем больше будут сближаться ваши идеи; и чем больше они сблизятся, тем легче вам будет понять их во всех отношениях. Значит, нам остается рассмотреть второе данное так же, как и первое; его нужно перевести в наипростейшее выражение.

По второму условию задачи, если я переложу один жетон из левой руки в правую, в правой у меня будет двойное число жетонов. Значит, число в моей левой руке, уменьшенное на единицу, есть половина числа в моей правой, увеличенного на единицу. Следовательно, вы выра­зите второе данное, говоря: «Число в вашей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой, уменьшенному на единицу».

Вы переведете это выражение в другое, более простое, если скажете: «Правая, увеличенная на единицу, равна двум левым, уменьшенным каждая на единицу», и вы придете к самому простому выражению: «Правая плюс один равна двум левым минус два». Итак, мы перевели данные в следующие выражения:

Этот способ представляется сам собой: ибо если правая минус один равна левой плюс один, значит, правая будет равна левой плюс два; и если правая плюс один равна двум левым минус два, значит, правая будет равна двум левым минус три. Таким образом, вы замените два первых уравнения двумя следующими:

Правая равна левой плюс два. Правая равна двум левым минус три.

Первый член этих двух уравнении — то же самое количество, правая; и вы видите, что узнаете значение второго члена одного или другого уравнения. Но второй член первого уравнения равен второму члену второго, поскольку они оба равны одному и тому же количеству, выраженному правой. Следовательно, вы сможете соста­вить это третье уравнение:

Левая плюс два равна двум левым минус три.

Тогда останется только одно неизвестное, левая; и вы узнаете его значение, когда выделите его, т. е. когда вы перенесете все известные в одну сторону. Таким обра-

Два плюс три равно двум левым минус одна левая. Два плюс три равно одной левой. Пять равно одной левой.

Правая минус один равна левой плюс один. Правая плюс один равна двум левым минус два.

Выражения этого вида называются в математике урав­нениями. Они составлены из двух равных членов: «Правая минус один» — первый член первого уравнения; «Левая плюс один» — второй член.

Неизвестные количества смешаны в каждом из этих членов с известными количествами. Известные — это «минус один», «плюс один», «минус два»; неизвестные — «правая» и «левая», при помощи которых вы выражаете два числа, которые вы ищете.

Пока известные и неизвестные смешаны так в каждом члене уравнений, невозможно решить задачу. Но не нужно большого усилия мысли, чтобы заметить, что если есть способ перенести количество из одного члена в другой, не изменяя равенства между ними, то мы можем, оставляя в одном члене лишь одно из двух неизвестных, выделить там известные, с которыми оно смешано.

Задача решена. Вы открыли, что число жетонов у меня в левой руке — пять. В уравнениях «правая равна левой плюс два», «правая равна двум левым минус три» вы найдете, что семь есть число, которое было у меня в правой руке. Ведь эти два числа, пять и семь, удовлетво­ряют условиям задачи.

На этом примере вы ясно видите, как простота выражений облегчает рассуждение; и вы понимаете, что если анализ нуждается в подобном языке, когда задача так же легка, как и та задача, которую мы только что решили, то он нуждается в нем еще больше, когда задачи усложняются. Поэтому преимущество анализа в математике вытекает исключительно из того, что анализ говорит здесь на самом простом языке. Чтобы объяснить это, достаточно даже поверхностного представления об алгебре.

Этот язык не нуждается в словаре. Здесь выражают

плюс знаком +, минус — знаком — и «равно» — знаком =, а количество обозначают буквами и цифрами. Например, х будет числом жетонов, которые я имею в правой руке, а у — числом жетонов в левой руке. Значит, х — 1 = у + 1 означает, что число жетонов у меня в правой руке, умень­шенное на единицу, равно числу жетонов в левой руке, увеличенному на единицу; и х + 1 = 2 у — 2 означает, что число в моей правой руке, увеличенное на единицу, равно взятому дважды числу в левой руке, уменьшенному на единицу. Значит, данные нашей задачи заключены в этих двух уравнениях:

х — 1 = у+ 1; х + 1 = 2 у - 2,

которые при выделении неизвестного первого члена при­нимают вид:

* = у + 2; х = 2у-3.

Из двух последних членов этих уравнений мы образуем уравнение

х + 2 = 2 у — 3,

которое последовательно принимает вид:

2 = 2 у — у — З;

2 + 3=2у — у; 2 + 3 = у;

5 = у.

Наконец, из х = у + 2 мы выводим также х = 10 — 3 = 7. Этот алгебраический язык ясно пока­зывает, как в рассуждении суждения связаны друг с другом. Понятно, что последнее суждение заключено в предпоследнем, предпоследнее — в том, которое ему предшествует; та­ким образом восходят от одного суж­дения к другому лишь потому, что по­следнее тождественно предпоследнему, предпоследнее — тому, которое ему предшествует, и т. д.; признано, что это тождество и создает всю очевидность рассуждения. Когда рассуждение развертывается при помощи слов, очевидность также состоит в тождестве, которое замечается между двумя суждениями. В самом деле, ряд суждений

остается тем же самым, изменяется лишь их выражение ²³. Нужно только отметить, что тождество легче замечается, когда его выражают при помощи алгебраических знаков. Но, замечается ли тождество более или менее легко, достаточно ему себя проявить, чтобы мы были уверены, что рассуждение является строгим доказательством; и не нуж­но представлять себе, что науки точны и в них проводится строгое доказательство, лишь когда в них говорят при помощи х, а и b. Если некоторые из них кажутся не допускающими доказательства, то потому, что о них говорят, прежде чем построить для них язык, даже не подозревая, что его необходимо создать; так что все науки имели бы одинаковую точность, если бы в каждой из них говорили на хорошо построенных языках. В первой части этого сочинения мы рассматривали метафизику. Там, например, мы объяснили происхождение способно­стей души лишь потому, что увидели, что все они тождест­венны способности ощущать, и наши рассуждения, выра­женные словами, так же строго доказаны, как могли бы быть доказаны рассуждения, выраженные при помощи букв.

Таким образом, если есть науки мало точные, то не потому, что в них не применяют алгебраических выраже­ний, а потому, что их языки плохо построены и об этом не догадываются, или если и догадываются, то переделывают их в еще худшие. Нужно ли удивляться тому, что люди не умеют рассуждать, когда язык наук — лишь жаргон, составлен­ный из слишком большого количества слов, из которых одни — обиходные, не имеющие определенного смысла, а другие — иностранные, или варварские, слова, которые плохо понимают? Все науки были бы точными, если бы люди умели говорить на языке каждой из них.

Следовательно, все подтверждает то, что мы уже доказа­ли,— что языки также являются аналитическими мето­дами, что рассуждение совершенствуется лишь постольку, поскольку совершенствуются сами языки, и что искусство рассуждать, сведенное к наибольшей простоте, может быть лишь хорошо построенным языком.

Я не буду говорить вместе с мате­матиками, что алгебра есть нечто вро­де языка. Я говорю, что она есть язык и не может быть ничем другим. Вы видите на при мере задачи, только что решенной на-

ми, что алгебра есть язык, на который мы перевели рас­суждение, ранее выраженное нами при помощи слов. Ведь если буквы и слова выражают одно и то же рассуждение, то очевидно, что поскольку при помощи слов лишь го­ворят на языке, то при помощи букв также лишь говорят на языке.

То же мы могли бы наблюдать относительно самых сложных задач, ибо все алгебраические решения предлага­ют тот же самый язык, т. е. рассуждения, или последова­тельно тождественные суждения, выраженные при помощи букв. Но так как алгебра представляет собой самый мето­дичный из языков и раскрывает рассуждения, которые нельзя было бы перевести ни на какой другой язык, то люди вообразили, что она не является, в сущности говоря, языком, что она язык лишь в некоторых отношени­ях и должна быть еще чем-то другим.

В самом деле, алгебра — это аналитический метод, но от этого она не становится в меньшей мере языком, раз все языки представляют собой аналитические методы. Ведь это то, чем они являются на самом деле. Но алгебра служит весьма ярким доказательством того, что развитие наук зависит исключительно от развития языков и что только хорошо построенные языки могли бы придать анализу ту степень простоты и точности, которую он допускает в зависимости от рода наших исследований.

Они могли бы, говорю я, ибо в искусстве рассуждать, как и в искусстве исчислять, все сводится к составлению и расчленению; и не следует думать, что это два разных искусства.

Date: 2015-11-13; view: 286; Нарушение авторских прав