Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Расчет статически неопределимых стержневых систем





В ряде инженерных задач внутренние силы в стержнях не могут быть определены с помощью одних уравнений статики из-за того, что число неизвестных сил в таких конструкциях больше чем число уравнений равновесия. Такие задачи называются статически неопределимыми.

Если элементы конструкции работают в основном на сжатие или растяжение, то такая стержневая система называется фермой. Ферма состоит из прямых стержней, образующих треугольники.

Если элементы стержневой системы работают в основном на изгиб или кручение, то система называется рамой.

Существуют плоские и пространственные системы.

Разность между числом неизвестных (реакций опор и внутренних сил) и числом независимых уравнений статики, которые могут быть составлены для рассматриваемой системы, носит название степени или числа статической неопределимости. Существуют системы один, два... n раз статически неопределимы.

Положение жесткого бруса в пространстве определяется 6-ю независимыми координатами, т.е. брус обладает 6-ю степенями свободы. На брус могут быть наложены ограничения (связи), обусловливающие его определенное положение в пространстве. При 6 связях брус превращается в жесткую неизменяемую систему. Число дополнительных связей равно степени статической неопределимости системы.

Так, заделка в плоскости дает 3 связи (ограничения в перемещениях по x, y, по углу поворота); шарнир в плоскости- 2 связи (ограничения по перемещениям).

Рассмотрим наиболее широко применяемый в машиностроении метод раскрытия статической неопределимости стержневых и рамных систем- метод сил. Он заключается в том, что заданная статически неопределимая система освобождается от дополнительных связей как внешних, так и взаимных, а их действие заменяется силами и моментами, величина которых подбирается так, чтобы перемещения соответствовали ограничениям, накладываемым отброшенными связями. При указанном способе решения неизвестными оказываются силы. Существуют и другие методы.

Раскрытие статической неопределимости методом сил начинается с отбрасывания дополнительных связей. Такая система становится статически определимой и носит название основной системы. Для каждой статически неопределимой стержневой системы можно подобрать, как правило, сколько угодно основных систем.

После отбрасывания дополнительных связей вводят неизвестные силовые факторы. В тех сечениях, где запрещены линейные перемещения вводят силы. Там, где запрещены угловые смещения вводят моменты. Силовые факторы обычно обозначают символом Xi, где i - номер неизвестного. Наибольшее значение i равно степени статической неопределимости системы. Для внутренних связей силы Xi являются взаимными. Если в каком-либо сечении рама разрезана, то равные и противоположные друг другу силы и моменты прикладываются и к левой и к правой частям системы.

Для определения сил составляют канонические уравнения.

Здесь взаимное смещение точек системы обозначают буквой dik, где первый индекс соответствует напряжению перемещения, а второй - силе.

Так, запись d1[X1, X2,...P]= 0, означает, что при действии силы X1 перемещение определяется суммой всех сил, как заданных, так и неизвестных.

Аналогично можно записать для перемещения в направлении силы X2-

d2[X1, X2,...P]= 0 и т.д.

Поскольку перемещения должны быть равными нулю, то при действии всех сил будет

d1[X1, X2,...P]= d1X1+ d1X2+...+ d1Р= 0.

...

dn[X1, X2,...P]= dnX1+ dnX2+...+ dnР= 0. (2-156)

 

Так как каждое перемещение пропорционально соответствующей силе, то diXk= dik Xk.

C учетом этого система (2-156) может быть переписана в форме

d11 Х1+ d12 Х2+...+d1n Хn+ d= 0

d21 Х1+ d22 Х2+...+d2n Хn+ d= 0

...

dn1 Х1+ dn2 Х2+...+dnn Хn+ d= 0. (2-157)

 

Эти уравнения являются каноническими уравнениями метода сил. Число их n -это степень статической неопределимости системы.

Если обратиться к интегралам Мора, то для определения перемещения dik, надо вместо внешних сил рассматривать единичную силу, заменяющую k - й фактор. Поэтому внутренние моменты и силы из выражения (2-153) заменим на Mкk, Mxk, Myk, Nk, Qxk, Qyk , понимая под ними внутренние моменты и силы от единичного k-го фактора. В итоге получим

dik = Mк k Мкi(GJк)-1dz+ Mх k Мхi(EJx)-1dz+ My k Мyi(EJy)-1dz

+ NP N1(Ef)-1dz+ kxQxP Qx1(E f)]dz+ [kyQyP Qy1(G f)-1dz, (2-158)

где Mкi, Mxi .... - внутренние моменты и силы, возникающие под действием i -го единичного фактора. Таким образом, коэффициенты dik получаются как результат перемножения i - го и k - го внутренних единичных силовых факторов. Индексы i и k непосредственно указывают, какие факторы должны быть перемножены под знаком интегралов Мора. Если рама состоит из прямых участков и можно пользоваться правилом Верещагина, то dik представляют собой результат перемножения i -х единичных эпюр на k -е единичные эпюры. При этом dik= dki.


Раскрыть статическую неопределимость можно также с помощью метода сравнения деформаций.

Пример 2.9: Раскрыть статическую неопределимость системы, изображенную на рис. 2.35,а

Здесь длина каждого плеча равна l.

Так как деформации из-за изгиба и кручения значительно превышают деформации от растяжения и сдвига, то последними 3-мя интегралами в выражении (2-158) пренебрежем.

Запишем уравнения статики для сил по вертикальной оси Y и горизонтальной оси Z и изгибающих моментов

åY=0; åZ= 0; åМ= 0.

Поскольку заделка дает 3 связи (ограничения), то две заделки дают 6 связей. Следовательно, в этом случае имеем степень статической неопределимости n= 6-3= 3.

Выбирая основную систему, отбрасываем левую заделку. Действие ее заменяем двумя силами X1, X2 и моментом X3 (рис.2.32,б).

Канонические уравнения (2-157) для рассматриваемой системы принимают вид

d11 Х1+ d12 Х2+ d13 Х3 = - d,

d21 Х1+ d22 Х2+ d23 Х3 = - d,

d31 Х1+ d32 Х2.+d33 Х3 = - d.

Определяем коэффициенты уравнений, полагая, что жесткость всех участков рамы постоянна и равна EJ.

Величина d11 определяется перемножением первой единичной эпюры самой на себя. Для каждого участка берется, следовательно, площадь эпюры и умножается на ординату этой же эпюры, проходящую через ее центр тяжести

d11= (EJ)-1[(l2/2)(2l/3)+ 2l2l]= 7l3/(3EJ).

Здесь d11 при l= k всегда положительны, т.к. площади эпюр и ординаты имеют общий знак.

Определяем далее, и остальные коэффициенты уравнений, перемножая соответствующие эпюры

d12= d21= 2l3/(EJ); d13= d31= 5l2/(2EJ); d22= 8l3 /(3EJ); d23= d32= 2l2/(EJ); d33= 3l/(EJ); d1P=- Pl3 /(2EJ); d2P=- 5Pl3 /(6EJ); d3P=- Pl2 /(2EJ).

Подставляем найденные коэффициенты в канонические уравнения. После сокращений получим

(7/3)lX1+ 2lX2+ (5/2)X3= Pl/2;

2lX1+ (8/3)lX2+ 2X3= 5Pl/6;

(5/2)lX1+ 2lX2+ 3X3= Pl/2.

Рис.2.35 К примеру 2.9

 

Решая эти уравнения, находим

X1= -P/4; X2= 7P/16; X3= Pl/12.

На этом раскрытие статической неопределимости заканчивается.

Пример 2.10: Определить вертикальное перемещение точки В стержневой системы на рис. 2.36.

 

Рис. 2.36

К примеру 2.10

 

 

Здесь АВ= ВС, а в точках А, В, С установлены шарниры. По стержню АВ направлена сила N1, а по ВС- N2.

Так как F= N1cosa + N2cosa= =2N1cos a, то N1= F/(2cosa).

Потенциальная энергия деформации стержней

U= Ni 2li /(2Ef)= [l/(2fE)](N12+ N 22)= N 21l/(fE)= F 2l/(4fEcos2a).

Используя теорему Кастильяно, для перемещения от силы F получим dВ =¶U/¶F= F l/(2fEcos2a).

 

Пример 2.11: Определить вертикальное перемещение точки В стержневой системы на рис. 2.37.

Здесь АВ= ВС= l1; DB= l2. В точках А, В, С, D установлены шарниры. По стержню АВ направлена сила N1, по DB- N2, по ВС- N3.

Очевидно N1= N3.

 

Рис.2.37

К примеру 2.11


 

 

Определим сначала действующие силы, составив уравнение сил

2N1cosa+ N2- F= 0.

При перемещении точки В имеет место соотношение Dl1= Dl2cosa, учитывая которое получим

N1l1/(Ef)= N2l2cosa/(Ef).

а так как из конструкции следует, что l2= l1cosa, то подставим его в предыдущее соотношение

N1= N2cos2a.

Следовательно,

N2= F/(1+2cos3a); s2= N2/f; e2= Dl2/l2= N2 /(fE);

N1= Fcos2a/(1+2cos3a); s1= N1/f, e1= Dl1/l1= N1/(Ef).

Отсюда вертикальное перемещение точки В равно

Dl2= N2l2/(fE)= F l2 /[(1+2cos3a) f E].

Пример 2.12: Определить напряжения в стержне на рис. 2.38

N2

Y

a Рис.2.38

о о К примеру 2.12

l F

F

       
   
 
 


x N1

а) б)

Для решения задачи устраним нижнюю и верхнюю заделки, а их действие заменим силами реакции N1 и N2, значение которых заранее не известно. Для того, чтобы выразить эти силы через известную силу F, рассмотрим равновесие части, освобожденной от заделок.

Составим уравнение - N2+ F- N1=0.

Поскольку в приведенное уравнение входят 2 неизвестные, то введем дополнительное уравнение, учитывающее совместность деформации, т.е., что длина стержня не меняется Dl=0.

Так как стержень воспринимает сжимающие и растягивающие силы, то

D l= Fa/(Ef)- N1 l/(Ef)= 0.

Откуда N1= Fa / l.

Из уравнения равновесия сил получим

N2= F- N1= F(1-a/l)= F(l- a)/l

Напряжения будут равны

s1= N1/f; s2= N2/f.

 







Date: 2015-11-13; view: 897; Нарушение авторских прав



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.023 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию