Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Множества мощности континуум
1. Множество мощности континуум несчётно.
Док-во. Применим метод доказательства от противного. Множество мощности континуум - множество, равномощное множеству точек любого отрезка. Возьмём отрезок [0,1].Каждой точке х ∈ [0,1] сопоставим представление числа х в виде бесконечной десятичной дроби вида х = α 0, α 1 α 2 α 3 …..; это представление единственно, если договориться, что в случаях возможной неоднозначности (число 0,5, например, можно представить и в виде 0,5000000…., и в виде 0,4999999….) применяется представление c периодом, равным нулю. Предположим, что множество точек, а следовательно, и множество таких дробей счётно, т.е. они могут быть пронумерованы, в качестве номера используем верхний индекс:
| х (1) = α 0(1), α 1(1) α 2(1) α 3(1)…….; х (2) = α 0(2), α 1(2) α 2(2) α 3(2)…….; х (3) = α 0(3), α 1(3) α 2(3) α 3(3)…….; ……………………………...; х (n) = α 0(n), α 1(n) α 2(n) α 3(n)…….; ………………………………. | Построим точку х = β 0, β 1 β 2 β 3….. ∈ [0,1], заведомо не принадлежащую этой последовательности. Возьмём β 0 = 0. В качестве β 1 возьмём любую цифру, неравную α 1(1) и 9; в качестве β 2 - любую цифру, неравную α 2(2) и 9 и т.д.; вообще в качестве βn возьмём любую цифру, неравную αn (n) и 9. Построенная точка не может входить в последовательность х (1), х (2), х (3),…, х (n),…, (х ≠ х (n), т.к. β (n) ≠ αn (n)) - получено противоречие с предположением о счётности точек отрезка. |
2. Если А - бесконечное множество, В - конечное или счётное множество, то A ∪ B - множество, равномощное А.
Выберем в А счётное подмножество С и пусть D = А \ С. Тогда А = D ∪ С; A ∪ В = D ∪(С ∪ В). С и В - счётные множества, следовательно, С ∪ В -также счётное множество, т.е. существует взаимно-однозначное соответствие между элементами С и С ∪ В. Применяя это соответствие и тождественное соответствие между элементами множества D, получим взаимно-однозначное соответствие между элементами D ∪ С и D ∪(С ∪ B), что означает равномощность множеств А и А ∪ В.
Следует отметить, что из этого свойства непосредственно следует равномощность множеств точек отрезка и интервала.
Определение. Множества, эквивалентные по числу элементов отрезку [0,1] называются множествами мощности континуума.
Date: 2015-12-11; view: 543; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА... |