Операции над множествами и их свойства

Объединением (суммой) множеств А и В называется множество А ∪ В, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Пересечением (произведением) множеств А и В называется множество А ∩ В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству В.

Разностью множеств А и В называется множество АВ, элементы которого принадлежат множесву А, но не принадлежат множеству В.

Симметричной разностью множеств А и В называется множество А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА, то есть А Δ В = (АВ) ∪ (ВА).

Свойства перестановочности

A ∪ B = B ∪ A

A ∩ B = B ∩ A

Сочетательное свойство

(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

3. 1.3. Мощность множества.

Количество элементов в конечном множестве естественно характеризовать их числом. В этом смысле множество чисел {-2, 0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов. Для бесконечных множеств такого простого правила сравнения количеств элементов в них нет; чтобы получить возможность описывать количество элементов в бесконечных множествах, введём следующие определения.

Опр. 1.7. Между множествами А и В установлено взаимно-однозначное соответствие, если каждому элементу множества А каким-либо образом сопоставлен единственный элемент множества В, при этом каждому элементу множества В сопоставляетсяединственный элемент множества А.
Опр. 1.8. Множества, между которыми можно установить взаимно-однозначное соответствие, называются равномощными (имеющими одинаковую мощность, эквивалентными). Равномощность множеств обозначается символом "~": А ~ В.
Так, для приведённых выше множеств.взаимно-однозначное соответствие устанавливается соотношениями -2 ↔ с, 0 ↔ ф, 3 ↔ а, 8 ↔ х. Однако ценность опр. 1.8 эквивалентности множеств заключается в том, что оно применимо к любым, в том числе бесконечным, множествам. Так, рассмотрим множество N натуральных чисел и множество N 2 = {2, 4, 6, …} четных чисел. Взаимно-однозначное соответствие между этими множествами устанавливается соотношениями n ↔ 2 n, следовательно, эти множества равномощны: N ~ N 2. Этот пример показывает, что собственное подмножество может быть равномощным всему множеству; естественно, это может быть только для бесконечных множеств.
Соотношение ~ эквивалентности множеств транзитивно: если А ~ В, В ~ С, то А ~ С. Взаимно-однозначное соответствие между элементами а и с множеств А и С устанавливается по цепочке а ↔ в ↔ с.

Опр. 1.9. Множество, эквивалентное множеству натуральных чисел N называется счётным множеством.
Другими словами, множество счётно, если его элементы можно перенумеровать всеми натуральными числами. Счётны множества N 2 чётных натуральных чисел, множество нечётных чисел (соответствие n ↔ 2 n -1, множество всех целых чисел {0, ±1, ±2, ±3, ±4,…} (соответствие 1 ↔ 0, 2 ↔ -1, 3 ↔ 1, 4 ↔ -2, 5 ↔ 2, …; вообще n ↔ (n -1)/2 для нечётных n и n ↔ - n /2 для чётных n).
Равномощны множества точек любых двух отрезков [ a, b ] и [ c, d ] (соответствие можно установить, например, с помощью центрального проектирования; рис. 7). Так же можно доказать равномощность множеств точек любых двух интервалов. Множество точек интервала равномощно множеству точек всей прямой (рис. 8). Сложнее ответить на вопрос, равномощны ли множества точек отрезка и интервала. Положительный ответ на этот вопрос даёт следующая теорема:
Теор. 1.5. Если множество А равномощно подмножеству В ₁ множества В, а множество В равномощно подмножеству А ₁ множества А, то множества А и В равномощны.

Опр. 1.10. Множество, эквивалентное множеству точек любого отрезка, называется множеством мощности континуум.
Рассмотрим более подробно свойства счётных множеств и множеств мощности континуум.