Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?


Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Теорема (Кантор)





Множество всех действительных чисел из отрезка -- несчетно.

Доказательство. Представим все числа в двоичной системе счисления в виде бесконечных 2–ых дробей (в случае конечных дробей дополним справа нулями до бесконечности). Предположим, что количество рассматриваемых чисел счетно. Расположим их в порядке возрастания номеров:

1) 2) 3) 4) 5)........... Здесь везде --- 0 или 1. Рассмотрим число , Где (т. е. , если , и , если ).

Легко видеть, что этого числа нет среди пронумерованных, так как оно отличается от 1-го числа в 1-ом разряде, от второго – во 2-ом разряде, от третьего – в 3-ем разряде,… Полученное противоречие показывает, что множество действительных чисел из отрезка не является счетным.

 

Существуют бесконечные множества, элементы которых нельзя перенумеровать. Такие множества называются несчетными.

Теорема Кантора. Множество всех точек отрезка [0, 1] несчетно.

Доказательство.

Пусть множество точек отрезка [0, 1] счетно. Значит, эти точки можно перенумеровать, т. е. расположить в виде последовательности x 1, x 2 … xn, ….

 

Рис. 1.7

 

Разобьем отрезок [0, 1] на три равные части. Где бы ни находилась точка x 1, она не может принадлежать всем отрезкам , , . Поэтому среди них есть отрезок D1, не содержащий точку x 1 (рис. 1.7). Возьмем этот отрезок D1 и разделим его на три равные части. Среди них всегда есть отрезок D2, не содержащий точку x 2. Разделим этот отрезок на три равные части и т. д. Получим последовательность отрезков D1 É D2 É D3 É…ÉD n É…. В силу аксиомы Кантора сходится к некоторой точке x при n ® ¥. По построению эта точка x принадлежит каждому отрезку D1, D2, D3,…, D n, …, т. е. она не может совпадать ни с одной из точек x 1, x 2, … xn, …, т. е. последовательность x 1, x 2 … xn, …не исчерпывает всех точек отрезка [0, 1], что противоречит первоначальному предположению. Теорема доказана.

Множество, эквивалентное множеству всех точек отрезка [0, 1] называется множеством мощности континуума.

Так как множества точек интервалов, отрезков и всей прямой эквивалентны между собой, то все они имеют мощность континуума.

Чтобы доказать, что данное множество имеет мощность континуума, достаточно указать взаимно однозначное соответствие между данным множеством и множеством точек отрезка, интервала или всей прямой.

Установить мощность континуума можно также, используя следующие теоремы о множествах мощности континуума (приводятся без доказательств).

Теорема 1. Множество всех подмножеств счетного множества счетно.

Теорема 2. Множество иррациональных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 3. Множество всех точек n- мерного пространства при любом n имеет мощность континуума.

Теорема 4. Множество всех комплексных чисел имеет мощность континуума.

Теорема 5. Множество всех непрерывных функций, определенных на отрезке [ a, b ] имеет мощность континуума.

Итак, мощности бесконечных множеств могут различаться. Мощность континуума больше, чем мощность счетного множества. Ответ на вопрос, существуют ли множества более высокой мощности, чем мощность континуума, дает следующая теорема (приводится без доказательства).

Date: 2015-12-11; view: 531; Нарушение авторских прав; Помощь в написании работы --> СЮДА...



mydocx.ru - 2015-2024 year. (0.006 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию