Счётные множества

1. Любое бесконечное подмножество В счётного множества А также счётно.

Элементы В можно перенумеровать в порядке их следования в А; так как В бесконечно, для нумерации будут использованы все натуральные числа.

1. Объединение конечной или счётной совокупности счётных множеств - счётное множество.

Докажем последнее утверждение сначала для двух счётных множеств А ={ a ₁, a ₂, a ₃,…} и В ={ b ₁, b ₂, b ₃,…}. Выпишем все элементы этих множеств в одну строчку a ₁, b ₁, a ₂, b ₂, a ₃, b ₃,… и сопоставим каждому элементу его номер в этой строчке (если A ∩ B ≠ , т.е. какой-то элемент входит и в А, и в В, он получает номер только в первый раз, а во второй раз пропускается). В результате будут пронумерованы все элементы множества A ∪ B, что доказывает его счётность. Также доказывается счётность объединения трёх, четырёх и вообще любого конечного числа счётных множеств. В случае счётного числа счётных множеств { A ₁, A ₂, A ₃, A ₄, …}способ нумерации может быть, например, таким: Нумерация начинается с элемента a ₁₁ и продолжается в направлении стрелок, повторяющиеся элементы при этом пропускаются.

3. Множество Q рациональных чисел счётно.

Множество рациональных чисел (чисел вида p / q, где p, q - целые числа, q ≠ 0) можно представить как объединение счётного числа следующих счётных множеств:
множества Q ₁ всех целых чисел n =0,± 1,± 2,± 3,….;
множество Q ₂ всех дробей вида n /2,множество Q ₃ всех дробей вида n /3,…………….,
множество Q_к всех дробей вида n / к, n =0,± 1,± 2,± 3,…..; следовательно, оно счётно.

Числовые множества

Теорема о множествах высшей мощности. Множество всех подмножеств данного множества имеет более высокую мощность, чем данное множество.

Из этой теоремы следует, что множеств с максимально большой мощностью не существует.

В теории множеств, счётное мно́жество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество является счётным, если существует биекция , где обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел.

Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество.Мощность множества всех натуральных чисел обозначается символом (произносится: «алеф-нуль»).

Свойства

1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно).^[1]
2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно.^[1]
3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно.
4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно.
5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным.

Date: 2015-12-11; view: 1357; Нарушение авторских прав