Задача 6

Известно, что вероятность положительного исхода некоторого опыта равна 0,125. Найдите вероятность того, что в серии из 128 опытов положительный исход произойдет

а) в 20 опытах

б) от 12 до 20 опытов.

Решение:

а) воспользуемся локальной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна ,равна раз (безразлично, в какой последовательности) приближенно равна

Так как

.

Значение функции находим в таблице (см. например, [5], стр. 461):

Итак,

Отметим, что таблица функции приведена только для положительных значений. Если же значение х получилось отрицательным, точки знак минус можно просто опустить в силу четности функции .

б) воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вероятность того, что в независимых испытаниях событие наступит от до раз приближенно равна

Так как

,

где

Значение функции также находим в специальной таблице (см. например [5], стр. 389). В таблице . Для отрицательных значений х используют эту же таблицу, учитывая, что является нечетной функцией, то есть . Итак, Отсюда

Ответ:

Вопросы к экзамену (зачету)

1. Системы линейных уравнений, основные понятия Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Крамера, Гаусса и с помощью обратной матрицы.

2. Векторы и линейные операции над ними. Арифметическое п -мерное векторное пространство Rⁿ Геометрический смысл пространств R² и R³.

3. Скалярное произведение векторов и его свойства. Длина вектора, угол между векторами.

4. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

5. Базис пространства. Разложение вектора по произвольному базису.

6. Различные виды уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми.

7. Прямая и плоскость в пространстве.

8. Основная задача линейного программирования. Геометрический метод решения задачи ЛП с двумя переменными.

9. Основные понятия теории вероятностей. Операции над событиями.

10. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Классическая вероятностная схема.

11. Элементы комбинаторики и вычисление вероятности событий. Геометрическая вероятность.

12. Теорема сложения вероятностей.

13. Условная вероятность. Независимость событий. Теорема умножения вероятностей.

14. Формула полной вероятности.

15. Формула Бейеса.

16. Вероятность событий в схеме Бернулли.

17. Локальная и интегральная теоремы Муавра - Лапласа.

18. Определение случайной величины. Функция распределения и ее свойства.

19. Ряд распределения, полигон и функция распределения дискретной случайной величины.

20. Плотность распределения и функция распределения случайной величины.

21. Математическое ожидание дискретной и непрерывной величины.

22. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной непрерывной величины.

23. Распределения дискретных случайных величин: биномиальное, Пуассона. Их числовые характеристики.

24. Равномерное и показательное распределения, характеристики.

25. Нормальное распределение и его числовые характеристики.

26. Понятие случайного вектора на примере системы двух случайных величин. Закон распределения системы двух дискретных случайных величин. Условные законы распределения. Независимые случайные величины.

27. Числовые характеристики системы случайных величин.

28. Предельные теоремы теории вероятностей.