Решение. а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

а) Найдем координаты вектора А1В1 по формуле

где - координаты точки А1, -координаты точки В₁.

Итак ={1-(-2);-3-2;0-2}={3;-5;-2}. Тогда = = .

Итак, длина отрезка, (или длина вектора ) равна . Это иесть искомая длинаребра.

б) Координаты ={3;-5;-2} уже известны, осталось определить координаты вектора ={6- (-2); 2 - 2; 4 - 2}= {8,0; 2}.

Угол между векторами и вычислим по формуле

cos φ =

где скалярное произведение векторов А₁В₁ и А₁С₁ равно (, )=3·8+(-5)·0+(-2)=24+0-4=20,

| |= , | |= = .

Итак, cos φ = 20 = 10

·

в)Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7). Требуется вычислить площадь треугольника АВС.

Решение: Треугольник ABC построен на двух векторах, выходящих из одной точки, например и Для вычисления площади основания ABC найдём векторное произведение этих векторов: . Площадь треугольника ABC равна модуля векторного произведения:

г)Пусть даны точки A(4; 2; 5), B(0; 7; 2), C(0; 2; 7), D(1; 5; 0). Требуется вычислить объем треугольной пирамиды ABCD.

Решение: Пирамида ABCD построена на векторах Объём пирамиды ABCD вычисляется как модуля смешанного произведения этих векторов: . Так как смешанное произведение векторов равно определителю, составленному из координат этих векторов, то . Возьмем данную величину по модулю. Тогда

д)Координатыточки А₁(-2,2,2) обозначим соответственно Х₀ = -2, У₀ = 2, Z₀ = 2, а координаты точки В₁(1,-3,0) через X₁ = 1, У₁ = -3, Z₁ = 0 и воспользуемся уравнением прямой и пространстве, проходящей через две точки:

.

Следовательно, уравнение ребра имеет вид

.

е) Обозначим координаты векторов , и черезХ₁=3, У₁= -5, Z ₁= -2 и Х₂=8, У₂ = 0, Z₂=2 соответственно. Векторное произведениеданныхвекторов определяется формулой

·A₁C₁ = {Y₁·Z₂-Y₂·Z₁;Z₁·X₂-Z₂·X₁;X₁·Y₂-X₂·Y₂} =

= {(-5)·2-0·(-2);-2·8-2·3;3·0-8·(-5)}={-10,-22,40}

Так как данный векторперпендикуляренграни С₁,то можно воспользоватьсяуравнением плоскости, проходящейчерез точку (Х₀ У₀, Z₀) перпендикулярно вектору{А;В; С}, котороеимеет вид A·(X-X₀)+B·(Y-Y₀)+С·(Z-Z₀)=0.

Подставим координаты точки А₁ (Хо= -2, У₀=2, Z₀=2) и координаты перпендикулярного вектора А= -10, В= -22, С=40 в это уравнение:

- 10 (X + 2) - 22 (У – 2) т 40 (Z- 2) - 0. Раскроем скобки и приведем подобные члены - 10 х -22 у + 40z + (-20 + 44-80)=0. Итак, уравнение грани ,C1 имеет вид: -10х- 22у + 4О z-56=0 или -5х- lly + 20z-28=0.