Различные способы задания плоскости

Вектор параллелен плоскости П (пишут ), если прямая, параллельная этому вектору, параллельна этой плоскости. Пусть - некоторая точка этой плоскости, а векторы - неколлинеарны и параллельны плоскости .

Точка Î когда векторы , компланарны, т.е. , (1)

где u,v – действительные числа (параметры).

Таким образом, чтобы задать плоскость , достаточно задать одну её точку и пару неколлинеарных векторов и , параллельных плоскости . Плоскость заданную точкой и векторами и , будем обозначать: .

Пусть в аффинной системе координат , и , .

Так как векторы и не коллинеарны, то

rang . (2)

Координатная запись векторного равенства (1) имеет вид:

П: (3)

Таким образом, система (3) определяет плоскость в пространстве, и уравнения (3) называются параметрическими уравнениями плоскости.

В силу свойств смешанного произведения векторов тройка векторов компланарна лишь тогда, когда

. (4)

Откуда , (5)

где .

(5) , где . (6)

Уравнение (6) – уравнение первой степени, так как, в силу условия (2), по крайней мере одно из чисел А,В,С отлично от нуля.

Следовательно, всякая плоскость определяется уравнением первой степени относительно аффинной системы координат в пространстве. Справедливо и обратное утверждение: всякое уравнение (6) первой степени определяет некоторую плоскость в пространстве, относительно некоторой аффинной системы координат .

Уравнение (6) называется общим уравнением плоскости

Плоскость будет определена, если задать три её точки не лежащие на одной прямой, при этом задание плоскости приводится к виду: .

Пусть , , . Тогда плоскость определяется уравнением:

. (7)

Если, в частности, точки являются точками пересечения плоскости с осями координат соответственно и плоскость не проходит через начало координат , и эти точки имеют координаты: , , , , то уравнение (6) принимает вид:

,

или П: , и называется уравнением плоскости «в отрезках».

Пусть в системе координат задана некоторая точка плоскости П и её нормальный (т.е. перпендикулярный) вектор (рис.23).

Тогда точка тогда и только тогда, когда ,т.е , т.е. ,где . Таким образом в п.д.с.к. плоскость можно задать точкой и нормальным вектором .