Векторное произведение векторов и его свойства

В пространстве имеются правая и левая системы координат. Система - правая, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору производится против вращения часовой стрелки, при этом базис также называется правым, и система - левая, если с конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору производится по ходу часовой стрелки.

Пусть даны неколлинеарные векторы и . Построим на этих векторах параллелограмм АВСD (рис.16). Для этого достаточно построить сумму векторов и . Тогда площадь параллелограмма АВСD, построенного на векторах и , равна , где .

Опр. Векторным произведением неколлинеарных векторов и , называется вектор , удовлетворяющий условиям:

1.Длина вектора равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. , где – угол между векторами и ,

2.

3. Базис – правый.

Если векторы и коллинеарны, или хотя бы один из них нуль-вектор, то их векторное произведение равно нуль-вектору.

Векторное произведение обозначается [ ] или . Рассмотрим некоторые свойства векторного произведения:

1. [ ]= ; [ ]= ; [ ]= ; [ ]= ;[ ]= .

Эти равенства вытекают непосредственно из определения. Например, пусть [ ]= ,тогда и . Следовательно . Аналогично можно проверить другие равенства.

2. Сумма координатных векторов умножается на координатный вектор по правилу умножения многочленов, но с обязательным сохранением порядка следования сомножителей, например, , ,и т.д.

Докажем первое равенство. Пусть – вектор, содержащий диагональ квадрата, построенного на векторах и . Тогда, используя определение, получаем . Из предыдущего свойства и . Таким образом, . Следовательно, .

3. [ ]= [ ]= [ ].

Следует рассмотреть два случая: и . Рассмотрим первый случай. При векторы и сонаправлены, тогда векторы [ ] и [ ] также сонаправлены, причем их длины равны . Значит эти векторы равны, т.е. [ ]= [ ]. Аналогично доказывается при .

Теорема. Если , , то

. (1)

Доказательство.[ ]=[ ]. Применим свойства 1-3: [ ]= [ ]+ [ ] + [ ] + [ ] + [ ]+ [ ] = [ ] + [ ] + [ ] = = + + =

.

Свойства. Принимая во внимание известные свойства определителей, заключаем, что векторное произведение обладает следующими свойствами:

1. [ ]= -[ ],

2. [ ]= [ ]= [ ],

3.[ ]=[ ]+[ ];

[ ]=[ ]+[ ],

т.е. сумма векторов умножается на сумму векторов по правилу умножения многочленов, но с обязательным сохранением порядка следования сомножителей.

Задача. Найти площадь треугольника АВС, если в прямоугольной декартовой систем координат (п.д.с.к.) А (3,4,1); В (-3,2,1), С(-2,4, 4).

Решение.Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах и . Тогда , где [ ]. .

, то .