Общее уравнение плоскости в задачах

1. Напомним, что вектор параллелен плоскости , если .

Лемма. Пусть в аффинной системе координат заданы плоскость уравнением

, )

и вектор . Для того чтобы вектор был параллелен плоскости , необходимо и достаточно, чтобы

. (1)

Доказательство. От некоторой точки плоскости отложим вектор и обозначим через координаты точки . Тогда

(2)

Так как , то . (3)

Пусть вектор параллелен плоскости . Тогда точка лежит в этой плоскости, поэтому

. (4)

Из равенств (3) и (4) следует, что

(5)

или, учитывая равенства (2), получим равенство (1).

Обратно, пусть выполняется равенство (1). Подставив сюда значения из равенства (2), получим равенство (5). Сложив равенства (3) и (5), приходим к равенству (4). Таким образом, , то есть вектор параллелен плоскости .

2. Полупространство.

Пусть в аффинной системе координат задана плоскость уравнением

, )

Плоскость разделяет множество не принадлежащих ей точек пространства на две части, каждая из которых вместе плоскостью П образует полупространство, ограниченное этой плоскостью. Пусть Так как , то вектор не параллелен плоскости П и и, следовательно, точка принадлежит только одному из указанных полупространств.

Через точку проведем прямую параллельно прямой и обозначим через точку пересечения этой прямой с плоскостью П. Так как векторы и коллинеарны, то существует такое число , что , или в координатах:

, , (6)

Векторы и одинаково направлены (точки и - в одном полупространстве, ограниченном плоскостью П) тогда и только тогда, когда . Эти векторы противоположно направлены (точки и - в разных полупространствах, ограниченных плоскостью П) тогда и только тогда, когда .

Тогда, учитывая (6), имеем:

, так как .

Так как , то знак совпадает со знаком . Следовательно, , где – полупространство, ограниченное плоскостью П и содержащее точку , и , где – полупространство, ограниченное плоскостью П и не содержащее точку .

3. Расстояние от точки до плоскости.

В прямоугольной системе координат дана плоскость : =0 и точка , не лежащая в этой плоскости (рис.25). Определим расстояние от точки до плоскости . Пусть - основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости . Вектор перпендикулярен плоскости и, следовательно, коллинеарен вектору .

Используя скалярное произведение, находим искомое расстояние:

= . Учитывая, что , т.е. , получаем

= . (7)