Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Смешанное произведение векторов и его свойства. Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координат
|
|
Пусть в пространстве задана правая прямоугольная декартова система координат.
Опр. Смешанным произведением трех векторов 
, 
, взятых в определенном порядке, называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор [ ].
Смешанное произведение обозначают 
или 
Теорема 1. В прямоугольной декартовой системе координат смешанное произведение трех векторов 
, 
, 
вычисляется по формуле:
(1)
Доказательство.Используя (1) из §20, запишем, [ ]= 
+ 
+ 
. Тогда скалярное произведение вектора на вектор [ ] есть сумма произведений соответствующих координат:
+ 
+ 
= 
.
|
, 
и 
. На этих векторах построим параллелепипед 
, при этом диагональ 
содержит сумму векторов , и (рис.17).
Теорема 2 (геометрический смысл смешанного произведения). Если , и - три некомпланарных вектора, то абсолютная величина смешанного произведения векторов , и равна объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Доказательство. Векторное произведение [ ] 
, где 
– площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
(т.е. 
– длина вектора [ ]), 
– орт вектора [ ]. Следовательно, ∙[ ] 
. Заметим, что 
, где 
– длина высоты AH параллелепипеда , причем знак «+», если тройка 
- правая; и знак «-», если тройка - левая.
Таким образом, ∙[ ]= 
. Окончательно, ∙[ ]= .
Свойства. Принимая во внимание теорему 1, заключаем, что смешанное произведение обладает свойствами определителя:
1.Векторы , и компланарны тогда, и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
2.Смешанное произведение некомпланарных векторов , и положительно (отрицательно), если базис – правый (левый).
3.При перестановке двух сомножителей смешанное произведение меняет лишь знак, а его абсолютная величина не меняется.
4.Циклическая перестановка сомножителей не меняет смешанное произведение.
5.При умножении одного из векторов , , на число 
на то же число умножается смешанное произведение векторов , , .
6.Смешанное произведение обладает свойством дистрибутивности относительно каждого сомножителя:
.
Date: 2015-12-10; view: 379; Нарушение авторских прав