Полезное:
Как сделать разговор полезным и приятным
Как сделать объемную звезду своими руками
Как сделать то, что делать не хочется?
Как сделать погремушку
Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами
Как сделать идею коммерческой
Как сделать хорошую растяжку ног?
Как сделать наш разум здоровым?
Как сделать, чтобы люди обманывали меньше
Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили?
Как сделать лучше себе и другим людям
Как сделать свидание интересным?
Категории:
АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника
Полуплоскость. Расстояние от точки до прямой
|
|
1.Пусть на плоскости П задана прямая d общим уравненем d: Ax + By + C= 0.
Всякая прямая d разделяет плоскость на две полуплоскости 
и 
. Вектор 
не коллинеарен вектору 
, т.к. их координаты не пропорциональны: 
(иначе 
, что невозможно), поэтому прямая d не параллельна вектору 
. Пусть 
- произвольная точка, не принадлежащая прямой d (рис.21), тогда на прямой найдется такая точка 
,что
. (1)
Заметим, что 
принадлежит (первой) той полуплоскости, куда отложен вектор , и 
принадлежит второй полуплоскости.
Таким образом, знак 
однозначно определяет принадлежность точки той или иной полуплоскости.
Из равенства (1) выразим координаты точки :
, где 
.
Подставим координаты точки в левую часть уравнения прямой d: 
= 
, где сумма 
- положительна. Значит 
и 
. Таким образом, условия определяющие полуплоскости, имеют вид: 
и 
.
Пример. Пересекает ли прямая d, заданная уравнением
d: 2 x + 3 y – 5 = 0,
отрезок, соединяющий точки M 1(– 1, 1) и M 2(2, – 3)?
Решение.Подставим координаты точек M 1(– 1, 1) и
M 2(2, –3) в выражение 
2 x + 3 y – 5
F (M 1) = F (– 1, 1) = – 2 + 3 – 5 < 0,
F (M 2) = F (2, – 3) = 4 – 9 – 5 < 0.
Следовательно, точки принадлежат одной полуплоскости, поэтому отрезок 
не пересекает прямую d.
2.В прямоугольной декартовой системе координат R =(O, 
, 
) дана прямая d общим уравнением Аx + Вy + C = 0 и точка 
, не лежащая на этой прямой.
Расстоянием от точки М 0до прямой d называется длина перпендикуляра М 0 М 1, проведённого из точки М 0 к прямой d. Обозначим расстояние от произвольной точки М 0 плоскости до прямой d через r(М 0, d). Итак, r(М 0, d) = 
.Вектор 
= (A, B) перпендикулярен прямой d, поэтому коллинеарен вектору 
. По определению скалярного произведения векторов имеем:
× = × | | × cos 
= r(M 0, d) × | | (±1).
Таким образом, r(М 0, d) = 
. (2)
Вычислим × . Пусть (x 1, y 1) – координаты точки М 1, тогда = (x 0 – x 1, y 0 – y 1). Поэтому
× = (x 0 – x 1) A + (y 0 – y 1) B = Аx 0 + Вy 0 – (Ax 1 + By 1) = Ax 0 + By 0 + C,
так как М 1 Î d, т.е. Аx 1 + By 1 + C = 0. Учитывая то, что | | = = 
, формулу (2) записываем в виде:
. (3)
Date: 2015-12-10; view: 572; Нарушение авторских прав