Введение. Физические теории кажутся ясными и простыми только при поверхностном их рассмотрении

Физические теории кажутся ясными и простыми только при поверхностном их рассмотрении. Любое углубление убеждает в их невероятной сложности. В значительной степени это касается теорий, в названии которых присутствует термин квантовая: квантовая механика, квантовая статистика, квантовая акустика, квантовая электродинамика и т. д. Тем не менее, их основные положения можно не только понять, но и успешно использовать в практической и инженерной деятельности.

Напомним: в механике движение тела однозначно определяется заданными начальными условиями и силами, действующими на тело. В этом случае можно вычислить положение тела в любой момент времени, определить результат его взаимодействия с другими телами, рассчитать, например, траектории движения планет, космических кораблей и т. п. Такие явления описываются динамическими характеристиками.

В молекулярной физике рассматриваются явления, в которых участвуют колоссальные количества молекул (в 1 см­³ газа при нормальных условиях содержится» 3×10¹⁹ молекул). Движение каждой частицы обусловлено различными причинами и подчиняется законам механики, но благодаря огромному числу соударений с другими молекулами и стенками сосуда, скорость и направление движения молекулы за короткий промежуток времени претерпевает столько изменений, что практически не зависят от начальных условий движения.

Это означает, что статистические закономерности, в отличие от динамических, не определяются начальными условиями. Наблюдение за отдельными частицами невозможно - можно наблюдать лишь результат их совокупного действия. Так, например, давление газа на стенки сосуда определяется изменением суммарного импульса молекул, ударяющихся о его стенки.

Статистическая физика изучает свойства макроскопических тел, т.е. систем, состоящих из очень большого числа частиц (молекул, атомов, электронов и т. п.), исходя из свойств этих частиц и взаимодействий между ними. Большое число частиц в макроскопических телах приводит к появлению новых статистических закономерностей в поведении таких тел, в широких пределах не зависящих от конкретных условий, например, от значений начальных координат и скоростей частиц. Для статистической физики характерно вычисление не точных значений физических величин, характеризующих поведение объекта, а их средних значений.

§ 13.1. Классическая статистика Максвелла-Больцмана.

Объекты, подчиняющиеся законам классической физики, описываются статистикой Максвелла-Больцмана. При этом предполагается, что они различимы, т.е. могут быть классифицированы по какому-либо признаку или параметру, например, по скорости, кинетической, потенциальной, полной энергии.

Распределение Максвелла определяет распределение молекул по скоростям (или импульсам), т. е. распределение по кинетическим энергиям при отсутствии внешнего силового поля. Оно было получено теоретически Дж. Максвеллом в 1859 г. и подтверждено экспериментально О.Штерном в 1920 г. Его можно представить графически (рис. 13.1) и аналитически следующим образом:

(13.1)

При этом заштрихованная площадь определяет долю молекул d N из общего числа N, имеющих скорости в интервале J, J + dJ, иначе говоря вероятность того, что скорость молекул лежит в указанном интервале или импульс в интервале p, p + d p независимо от направления импульсов:

(13.2)

Можно также поставить вопрос о числе молекул, скорости или импульсы которых лежат в данном интервале скоростей и импульсов, задаваемых, соответственно, векторами

, или

, .

От выражения (1) можно перейти к иной форме распределения Максвелла:

. (13.3)

Учитывая, что , а перепишем (13.3) в виде:

(13.4)

где (13.5)

Распределение Максвелла в форме (13.4) определяет вероятность того, что проекции импульсов молекул на координатные оси лежат в интервалах от p_x до p_x + d p_x, от p_y до p_y + d p_y, от p_z до p_z + d p_z.

Введём гипотетическое пространство импульсов (р-пространство), в котором будем откладывать вдоль координатных осей значения компонент импульсов p_x, p_y, p_z­ (рис.13.2). Тогда каждой молекуле будет соответствовать точка в пространстве импульсов. Чтобы отличить эту точку от произвольной точки р-пространства, условимся называть точку, изображающую импульс молекулы, р-той точкой, а произвольную точку р-пространства - геометрической точкой.

Поскольку молекулы движутся хаотически, расположение р-точек относительно начала координат оказывается сферически симметричным. Поэтому плотность р-точек (их число в единице объёма р-пространства) является функцией расстояния от начала координат, т.е. функцией модуля импульса р. Импульсы, численные значения которых ограничены интервалом d p, можно изобразить векторами, концы которых лежат внутри шарового слоя “объёмом” 4p p ²d p. Импульсы, составляющие которых p_x, p_y, p_z­ ограничены данными интервалами d p_x, d p_y, d p_z изображаются векторами, концы которых лежат в объёме d p_x d p_y d p_z. При указанных предположениях

4p p ²d p = d p_x d p_y d p_z. (13.6)

Если газ или другая система частиц находится во внешнем потенциальном силовом поле, например в гравитационном, то распределение частиц по высоте (по объёму) описывается распределением Больцмана. С помощью барометрической формулы Лапласа и уравнения состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона легко получить распределение молекул в поле силы тяжести для изотермического случая:

, (13.7)

где n и n _o – концентрации частиц соответственно на высотах h и h _o над поверхностью Земли (рис. 13.3 а, 13.3 б).

h << R, h_o << R, , .

Перепишем выражение (13.7) иначе, учитывая, что :

, (13.8)

где . (13.9)

Соотношение (13.8) определяет вероятность d w _Б того, что координаты частицы находятся в интервалах от x до x+ d x, от y до y+ d y, от z до z+ d z, иначе говоря частица лежит в объёме :

. (13.10)

Поскольку распределение по скоростям и по координатам являются событиями независимыми, то суммарное распределение можно определить по теореме умножения вероятностей:

(13.11) где С_М-Б = С_М × С_Б = сonst, W - полная энергия частицы, - элемент абстрактного шестимерного m -пространства координат импульсов (элемент так называемого фазового объёма).

Выражение (13.11) можно записать иначе:

. (13.12)

Его можно трактовать как среднее число частиц в единице фазового объёма (в фазовой ячейке или в состоянии с энергией W. Функция f_М-Б (W) называется функцией распределения Максвелла-Больцмана.

§ 13.2. Квантовые статистики Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Квантовой статистикой называется статистический метод исследования, применяемый к системам состоящим из большого числа микрообъектов. При этом тождественные частицы считаются неразличимыми. Основной задачей является задача о распределении частиц по координатам и скоростям. Её можно сформулировать как задачу о распределении микрообъектов по ячейкам фазового объёма шестимерного m-пространства координат-импульсов. Элемент “объёма” d G = d x d y d z d p_x d p_y d p_z. В силу соотношения неопределённостей Гейзенберга d x d p_x @ , поэтому d G @ ³. Состояние системы тождественных частиц не изменяется от перестановки частиц как внутри данной ячейки, так и между ячейками.

В квантовой механике из принципа неразличимости тождественных частиц вытекает существование двух типов волновых функций – симметричных и асимметричных. Первые не изменяют знака при перестановке любой пары частиц системы, вторые – меняют свой знак на противоположный.

Тождественные частицы, описываемые симметричной волновой функцией, называются бозонами. Для них проекция собственного механического момента на направление магнитного поля L_LsH равна нулю или чётному числу ± /2.

Тождественные частицы, описываемые асимметричной волновой функцией, называются фермионами. Для них L_LsH равно нечётному числу ± /2.