Изменение во времени средних значений и операторов физических величин

В квантовой механике большой интерес представляет вопрос об изменении во времени среднестатистических значений физических величин , характеризующих микрообъект:

(1)

Найдём материальную производную от среднестатистического значения :

(2)

Учитывая, что , и , перепишем (2) в виде

(3)

Линейные операторы используемые в квантовой механике являются эрмитовыми, причём условием эрмитовости является следующие соотношение:

(4)

Положим , . Тогда:

(5)

С учётом (5)

(6)

Кроме того (7)

Использую (6) и (7), запишем (3) в виде

(8)

Оператор называется квантовыми скобками Пуассона. Выражение (8) представляет собой закон изменения во времени средне вероятного значения физической величины :

(8)

Рассмотрим частные случаи: - оператор коммутирует с оператором Гамильтона , т.е. . Тогда

(9);

- физическая величина явно не зависит от времени . Тогда

(10);

- операторы и коммутируют и физическая величина не зависит от времени. Тогда

(11),

т.е. физическая величина является константой (интегралом движения) и для неё имеет место закон сохранения средне вероятного значения . Очевидно (11) есть аналы классического закона сохранения величины . Только в отличие от классической физики сохраняется не сама величина , а её средне вероятное значение .

Аналогом соотношения (8) в классической механике является Эйлерово правило дифференцирования, связывающее материальную , локальную производные по времени и конвективное слагаемой

(12)

О соответсвии между основными соотношениями классической и квантовой механики.

Закон временного изменения физических величин в квантовой механике

(1)

позволяет установить соответствие между рядом соотношений классической и квантовой механики.

1. Пусть представляет собой координату микрообъекта, явно не зависящую от времени, т.к. для одного и того же момента времени может быть задана любой. Следовательно, . Поскольку , то

(2)

Вычислим скобки Пуассона, действующие на волновую функцию :

(3)

Преобразуем первое слагаемое

(4)

Поскольку , то выражение (4) упростится

(5)

Подставляя (5) в (3), получим

(6)

С учётом (6) выражение (2) пишется в виде

(7)

Но есть оператор составляющей скорости

(8)

Следовательно

(9)

В векторной записи

(10)

Т.о. классическое определение скорости в квантовой механике выполняется в среднем.

2. Положим - импульсу микрообъекта, считая его явно не зависящим от времени

Тогда для импульса:

(11)

Найдём вначале результат действия оператора на волновую функцию .

(12)

т.к. , где консервативная сила потенчеального поля , а

Подставлял (12) в (11), получим

(13)

Выражение (13) называется теоремой Эренфеста и представляет собой аналог основного закона классической механики – 2 закон Ньютона.

(14),

с той разницей, что в квантовой механике он выполняется в среднем.

Для свободного микрообъекта и (15)

Выражение (15) представляет собой закон сохранения импульса.

3. Положим -моменту импульса микрообъекта. Для стационарного состояния =0 и среднее изменение момента импульса с течением времени

(16)

Найдём выражение для квантовых скобок Пуассона , учитывая, что оператор момента импульса , а тогда: (17)

Проделаем преобразования в компонентной форме, учитывая, что: ,

.

Тогда: (18)

(19)

Учитывая (18) и (19) после элементарных преобразований получим из (17)

(20)

Применим оператор к волновой функции :

(21)

Таким образом, окончательно: (22)

Выражение (22) является аналогом основного закона динамики вращательного движения и также

Выполняется в квантовой механике в среднем в отсутствии главного момента внешних сил (например, в центральном силовом поле) имеет место закон сохранения момента импульса или (23)

Уравнение неразрывности в квантовой механике.

Основное уравнение квантовой механики-уравнение Шредингера –можно представить в виде:

(1)

его решение позволяет определить волновую функцию микрообъекта, находящегося во внешнем силовом поле.Однако, на опыте определяется не сама волновая функция, а квадрат её модуля -плотность вероятности обнаружение микрообекта в точке t:

(2).

С помощью уравнения (1) можно найти закон изменения плотности с течением времени, иначе говоря установить последовательные значения , образующие причинно-следственный ряд.

Запишем уравнение, комплексно сопряженное (1):

(3)

Умножим (1) на ,а (3) на получим:

(4)

(5)

Вычтем из (5) выражение (4) и разделим полученную разность на . Тогда получим:

(6)

Очевидно (7)

Учитывая,что

,получим

(8)

Обозначим

(9)

и назовем эту величину плотностью тока вероятности.

Тогда с учетом (7),(8)и (9) выражение (6) можно переписать в виде:

(10)

Уравнение (10) называется уравнением неразрывности квантовой механики.

Поскольку оператор скорости ,то вектор связан со скоростью движения микрообъекта

(11)

В заключении курса остановимся на 3 вопросах:

- нужна ли физика вообще,

-

- взаимоотношение физики и религии.

1. Ответ на первый вопрос очевиден. Великий английский физик Резерфорд Э. предложил следующую классификацию наук:

“Все науки делятся на физику и коллекционирование марок.”

Достаточно перечислить такие термины как астрофизика, биофизика, химическая физика, прикладная (техническая) физика, радиотехника, электротехника, сопротивление материалов и т.д. и т.п. Незнание физики губительно не только для инженера, но и для государственного деятеля, ибо такие законы как принцип Ле-Шателье – Брауна (ІІІ закон Ньютона), законы сохранения (принцип запрета), II начало термодинамики (все портится) являются универсальными. Именно физики первыми предсказали неизбежный распад Советского Союза, используя модель системы с отрицательной температурой, которая может существовать сколь угодно долго пока является изолированной (пока существует “железный занавес”) и разваливается при наличии контакта с другими системами, имеющими положительную температуру.

Если перефразировать М.В.Ломоносова, то можно сказать: “Широко простирает физика свои руки во все науки”.

В качестве примера важности физики для техники приведем использование ее методов для неразрушающей диагностики технических систем, медицины, техники.

Неразрушающая диагностика – это прикладная наука, с помощью которой проверяется соблюдение качества материалов, надежность деталей и узлов, безопасность работы технических систем в целом в процессе изготовления, эксплуатации, регламентных работ. Одной из главных причин, снижающих качество продукции являются скрытые дефекты, не установленные при контрольных испытаниях в процессе изготовления. При этом под дефектом понимаются любые отклонения от заданных физических или других свойств изделия в целом или каких-либо его частей.

Непрерывное совершенствование стандартов и технических условий на выпускаемые изделия обнаружило несоответствие между выдвигаемыми к изделиям требованиям и методами неразрушающего контроля, а также недостаточное понимание принципов, на которых основаны эти методы.

“- Неразрушающие испытания дают сигналы, которые богаты информацией, но многие из них воспринимаются как бы выраженными на иностранном языке, словарь которого неизвестен.”

Общие принципы

Дефект может быть обнаружен, если является локальной неоднородностью среды, т.е. если он по своим физическим свойствам – плотность, импеданс, акустическое сопротивление, показатели преломления, поглощения, отражения и т.д. – отличаются от окружающей среды.

Методы диагностики можно условно разделить на две категории – активные и пассивные. В первом случае объект подвергается внешнему воздействию (электромагнитному, акустическому, температурному, механическому) и исследуется его отклик на это воздействие. Во втором случае источником информации служит собственное “излучение” объекта.

Требования к методам

1. Достоверность контроля.

2. Оперативность.

3. Реализуемость в производственных условиях.

4. Экономичность.

5. Возможность автоматизации процесса контроля.

6. Безопасность для персонала.

7. Экологическая чистота.

В практике широко используются различные методы НК качество материалов, основанные на использовании проникающих излучений (рентгеновских и g-лучей), ультразвуковых и звуковых колебаний, магнитных и электромагнитных полей, оптических спектров, явлений капиллярности и т.д. Краткая характеристика некоторых из них приведена в таблице 1.

Таблица 1

Таким образом для контроля качества элементов и деталей конструкций существуют многочисленные методы дефектоскопии – неразрушающего контроля.

Естественно ни один из них не является универсальным, не в состоянии удовлетворить всем требованиям. Каждый имеет свою эффективную область применения, вследствие чего в ряде случаев целесообразно комплексное использование различных методов.

Выбор того или иного метода неразрушающего контроля определяется конкретными требованиями практики и зависит от следующих факторов:

- материала и конструкции (формы, размеров) контролируемого объекта;

- состояния его поверхности;

- характера дефектов, подлежащих определению;

- условий контроля;

- технико-экономических показателей.

В каждом случае должен быть составлен алгоритм и разработаны частные методики контроля.

2. Укажем на некоторые проблемы, которые потребуют своего решения в недалеком будущем.

2.1. Макрофизика

2.1.1. Управляемый синтез

Проблема будет считаться решенной, если удастся использовать для нужд энергетики ядерные реакции синтеза, например, реакции

²₁D + ³₁T ® ⁴₂He + ¹₀n + 17,6 Мэв,

²₁D + ³₂He ® ⁴₂He + ¹₁p + 18,34 Мэв.

Усилия, затрачиваемые на решение данной проблемы, оказываются плодотворными в более широком плане – они стимулируют многочисленные исследования, порождают новые методы и подходы.

2.1.2. Высокотемпературная проводимость

Сверхпроводимость была открыта в 1911г. и долгие годы оставалась не только самым загадочным явлением, но и не находила почти никакого применения, что объясняется тем, что она наблюдалась вплоть до последнего десятилетия только при очень низких температурах (у первого проводника – ртути – критическая температура Т _с = 4,15К).

В последние годы ситуация радикально изменилась – открыты сверхпроводники с критической температурой в интервале –20 ¸ +20^оС.

2.1.3. Новые вещества (проблема создания металлического водорода и некоторых других экзотических материалов).

В обычных условиях водород состоит из молекул, кипит при Т _к = 20,3К и затвердевают при температуре Т _п = 14К. Плотность такого водорода 76 кГ/м³ и он является диэлектриком. При сильном сжатии внешние оболочки оказываются “раздавленными”, все вещества должны переходить в металлическое состояние. Возможно, металлический водород является сверхпроводящим, причем с высоким значением Т_с, достигающим 100¸300К.

2.1.4. Разработка физических основ теории разрушения материалов.

2.1.5. Получение далеких трансурановых элементов (в частности ²⁹⁴₁₁₀Z, ²⁹⁸₁₁₄Z).

2.2. Микрофизика. Жизнь была прекрасна до 1932г., когда были известны лишь три “элементарные” частицы – электрон, протон, фотон.

В настоящее время “зоопарк” частиц насчитывает, по-видимому несколько сотен, и понятие элементарности теряет смысл.

2.2.1. Поиск фундаментальных частиц (кварки, глюоны, монополь Дирака).

2.2.2. Поиск гипотетических частиц. В 1993г. А.Б.Озолиньш (Латвия, Рига) и А.Н.Куценко в совместной неопубликованной работе “L`hypothèse d`electrino” высказали предположение о существовании двух элементарных частиц, которые они называли “электрино ⁰_-e” (маленький электрон, электрончик) и “позитрино ⁰₊e” (маленький позитрон, позитрончик), с электрическим зарядом и спиновым числом, равным соответствующим характеристикам электрона и позитрона и массой электронного нейтрино m _n. Они предложили возможную схему аннигиляции этих частиц

~

⁰_-e + ⁰₊e ® n_e + n_e

и высказал предположение, что “электрино так же неисчерпаемо: как и электрон” (шутка!).

Недостаточное знакомство с современными теориями элементарных частиц и физикой высоких энергий не позволило упомянутым авторам описать свойства электрино и позитрино, указать способы их возможной регистрации. По оценкам профессора Голопупенко Б.А. эксперименты по обнаружению этих частиц могут обойтись в 200 млрд. долларов, что отодвигает их поиск на конец ХХІ века.

3. Вопрос о взаимоотношениях физики и религии является очень сложным и вплотную примыкает к решению основных задач физики:

- из чего состоят колеса (мироздания),

- почему они крутятся?

Проще всего его решает вульгарный атеизм: “Бога нет – это медицинский факт” (Остап Бендер). Если говорить серьезно, то имеются несколько проблем, решить которые трудно.

3.1. Есть ли в мироздании что-либо кроме материи?

Естествоиспытатели утверждают, что в мире существует только движущаяся материя (вещество, поле), важнейшими характеристиками которых являются энергия и энтропия.

Возражения христианской религии: ни вещество ни энергия не обладают возможностью самоорганизации. Если бы из нашего существующего и организованного мира исчезло бы некое управляющее и упорядочивающее начало, то за очень короткий срок все пришло бы к полному хаосу: о чем говорит ІІ начало термодинамики. Любые признаки порядка или же диктующие такой порядок явления во Вселенной еще говорят о том, что отдаленные на расстояния, большие, чем примерно 12 млрд. световых лет.

В 1929г. Г.Э.Хаббл обнаружил, что в космосе “все разбегаются”: галактики разбегаются со скоростями, пропорциональными расстояниям до них, что напоминает скорости разлета осколков при взрыве бомбы. Этим образом подсказан термин “большой взрыв” (The Big Bang).

Один из ведущих астрономов нашего времени Роберт Джастроу в книге “Бог и астрономы” пишет:

“… как обнаружили астрономы ВСЕЛЕННАЯ ИМЕЛА НАЧАЛО. То есть, во времени был какой-то момент, до которого Вселенной еще не существовало… Исследования показывают, что Вселенная образовалась в результате взрыва. Богословы, как обычно, были в восторге, получив очередное доказательство того, что Вселенная имела начало, астрономы же, как это ни странно, огорчилось … Это обыкновенная реакция научного мышления (якобы абсолютно объективного) на новые данные, которые расходятся с фундаментальными положениями, когда новые данные не вписываются в уже готовую картину их мировоззрения. Они начинают нервничать, пытаются делать вид, что никакого противоречия вовсе нет, или стараются прикрыть его глубокомысленными, но бессмысленными заявлениями.

Богословы утверждают: “нечто”, сотворившее Вселенную, должно обладать силой большей, чем все силы во Вселенной, а также, что “оно” не только разумно, но способно мыслить на уровне, во много раз превышающем наш собственный. Следствие не может быть больше причины, иначе какая-то часть появилась беспричинно, произошла из ничего. Но поскольку ничего не возникает из ничего, постольку следствие не может быть больше причины. Материя не обладает возможностью самоорганизации. Без упорядочивающего влияния она стремится к состоянию максимального беспорядка. Для того, чтобы принести в наш материальный мир порядок, нужен РАЗУМ. Если Вселенная не могла создать себя сама, то ее могло создать нематериальное, обладающее интеллектом, превосходящим тот, который существует где-то внутри Вселенной.

Возражения естествоиспытателей: предположим Вселенная имеет Творца. Но откуда же взялся Он сам?

Богословы отвечают: для образования Вселенной должна быть какая-то причина; ведь когда-то ее не было, а потом она появилась. Если у всего существующего есть причина, то должно быть что-то не вся Вселенная тяготеет к самоорганизации. Она не способна создавать порядок и, значит, причина упорядоченности должна лежать за пределами Вселенной.

Кроме того, если вещество и энергия стремятся к максимальному беспорядку, а Вселенная в настоящее время вполне организована, то это означает, что “стремление к беспорядку” существовало не всегда и не вечно. Это, в свою очередь, приводит нас к заключению, что материя не существовала всегда, и был такой момент, когда ее не было вовсе. Если материя не вечна, то должно быть что-то иное, существующее вечно, потому, что ничто не происходит из ничего, и если нет ничего, кроме материи, то до ее возникновения должно было существовать какое-то “нечто”.

Возражения физиков: мы ничего не знаем об этом “нечто”: а наши утверждения только тогда имеют смысл, когда мы опытным путем можем доказать их истинность, поскольку физика – наука опытная ”.

Согласно бельгийскому физику Илье Пригожину существование жизни на Земле является одним из примеров, когда энтропия может уменьшаться в ограниченной области ценой заметного увеличения ее в другом месте. При этом И.Пригожин ссылается на пример так называемой нестабильности Бернара. Если слить вместе холодную и горячую воду, температура ее начнет выравниваться. Если же нагревать сосуд с водой, то можно вызвать непрерывный подъем горячей жидкости, тогда как более “тяжелая” холодная вода будет спускаться вниз. Кроме того, наблюдается выделенное движение конвективных потоков, препятствующих встрече горячей воды с холодной. Таким образом, происходит разделение горячей и холодной воды и появление локальной упорядоченности. Это происходит за счет энергии нагревателя, которая рассеивается в окружающее пространство, проходя через сосуд и вызывая рост энтропии. Заменив нагреватель Солнцем, а сосуд Землей с ее поразительным богатством химических соединений, мы можем получить удивительным образом организованные структуры. Таким образом согласно Пригожину жизнь есть следствие энтропического разбазаривания энергии Солнца или какой-либо другой Звезды.

3.2. Происхождение Вселенной. Теория большого взрыва.

Ограниченному человеческому мозгу невозможно представить бесконечную в пространстве и времени Вселенную. Не менее трудно представить себе ограниченную Вселенную, имевшую начало. Каковы же размеры Вселенной? Согласно представлениям современной космологии и имеющимся наблюдательным данным, невозможно увидеть объекты, не имеющие причины, независимые. Должна быть ПЕРВОПРИЧИНА. Если допустить, что причинно-следственная цепь существует, то у нее должно быть начало, то, что Платон и Аристотель называли “беспричинной причиной”. Когда христиане говорят о Боге, они имеют в виду именно “беспричинную причину”, хотя подразумевают нечто большее – личность мудрую, добрую, справедливую и полную любви. Хотя высказывания Библии о природе не носят научного характера, все же они не противоречат научным открытиям последних лет.

И все-таки, каково мнение физиков: можно ли доверять теории большого взрыва? Многие физики считают ее “ЗАХВАТЫВАЮЩЕЙ РАБОЧЕЙ ГИПОТЕЗОЙ”.

Подробнее с затронутыми проблемами можно ознакомиться в книгах:

1. В.Л.Гинзбург “О физике и астрофизике”, М. “Наука”, 1985г.

2. И.Д.Новиков “Эволюция Вселенной”, М. “Наука”, 1983г.

3. Т.Редже “Этюды о Вселенной”, “Мир”, 1985г.

4. И.Л.Герловин “Основы единой теории всех взаимодействий в веществе”. Л., Энергоатомиздат, 1990г.

Физические константы

Гравитационная постоянная м³·кг^-1·с^-2

Ускорение силы тяжести на широте Одессы м ·с^-2

Абсолютный нуль температур -273,15 ºC = 0 К

Универсальная газовая постоянная Дж ·моль^-1 ·К^-1

Число Авогадро моль ^–1

Постоянная Больцмана Дж ·К^-1

Масса покоя электрона кг

Масса покоя протона кг

Масса покоя нейтрона кг

Заряд электрона (протона) Кл

Удельный заряд электрона Кл·кг^-1

Электрическая постоянная Ф·м^-1

Магнитная постоянная Гн·м^-1= Гн·м^-1

Скорость света в вакууме м·с^-1

Постоянная Планка Дж·с

Постоянная Планка ћ Дж·с

Постоянная Стефана – Больцмана Вт·м^-2·К^-1

Средний радиус Земли м

Масса Земли кг

Радиус Солнца м

Масса Солнца кг

Радиус Луны м

Масса Луны кг

Среднее расстояние от Земли до Солнца м

Среднее расстояние от Земли до Луны м

Рекомендованная литература

1. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики - М.: Наука, 1989. - 607 с.; 1999, - 718 с.

2. Савельев И.В. Курс общей физики - М.: Наука, 1989. - Т.1, - 350 с.

3. Савельев И.В. Курс общей физики - М.: Наука, 1989. - Т.2, - 462 с.

4. Савельев И.В. Курс общей физики - М.: Наука, 1989. - Т.3, - 303 с.

5. Чолпан П.П. Основи фізики. - К.: Вища школа, 1995, - 488 с.

6. Чертов А.Г., Воробьев А.А., Федоров М.Ф. Задачник по физике - М.: Высшая школа, 1990, - 430 с.

7. Богацько І.Г. Загальні основи фізики. - К.: 1998.

8. Айзенцон А.Е. Курс физики - М.: Высшая школа, 1996.- 462 с.

9. Волькенштейн В.С. Сборник задач по общему курсу физики - М.: Наука,

1989. - 464 с.

10. Сборник задач по общему курсу физики // Под ред. А.Н.Куценко, Ю.В.Рублева - М.: Высшая школа, 1972. - 432 с.