Глава 8. Системы массового обслуживания

Существует широкий класс задач, с которыми приходится постоянно сталкиваться в повседневной и хозяйственной деятельности, где имеют место процессы, приводящие к задержкам в обслуживании и очередям. С очередями мы сталкиваемся постоянно: при посещении магазинов, парикмахерских, при обслуживании автомобилей, при оформлении вклада в сбербанке, при заходе самолётов на посадку и т.д. Системы, в которых протекают указанные процессы, получили название систем массового обслуживания (МО), а математическим описанием или разработкой математических моделей процессов, протекающих в них, занимается теория МО.

Теория МО впервые была использована при эксплуатации телефонных сетей. Большую роль в её развитии сыграл датский учёный А. К. Эрланг, который в 1913 году описал процесс обслуживания телефонных линий. И хотя с тех пор теория МО стала широко использоваться при оценке и повышении эффективности функционирования разнообразных сложных систем, терминология и названия некоторых моделей сохранили заимствование из телефонии: требования, вызовы, заявки, каналы связи, длительность обслуживания и т.п.

Очереди, как известно, это неизбежное зло в любом обществе. Возникают они из-за несогласованности моментов прибытия требований в систему и временем обслуживания требования в системе.

В процессе изучения очередей сначала необходимо обращать внимание на следующие основные её компоненты: входящий поток требований, каналы обслуживания, наличие очереди и выходящий поток. Эти составляющие не требуют разъяснения, за исключением дисциплины очереди. Последнее – это просто правило обслуживания. В дальнейшем мы будем рассматривать правило: первый пришёл, первый обслуживается. Возможны также другие варианты: первый пришёл – последний обслуживается, случайное обслуживание, обслуживание с приоритетами и др.

Системы МО могут также различаться по числу каналов обслуживания и фаз (последовательных этапов) обслуживания. По этим признакам различают четыре типа систем МО:

1) один канал обслуживания, одна фаза

0 0 0

очередь ожидания

канал обслуживания

2) несколько каналов, одна фаза

0 0 0

очередь ожидания

каналы обслуживания

3) один канал обслуживания, несколько фаз

0 0 0

очередь ожидания

канал обслуживания

4) несколько каналов обслуживания, несколько фаз

0 0 0

очередь ожидания

каналы обслуживания

Обсудим теперь проблему принятия решения в системах МО. На первый взгляд, идеальным выходом при образовании очередей является принятие мер к их полной ликвидации. В этом случае повышается уровень обслуживания – клиенты довольны. Но, зачастую, это приводит к неоправданному увеличению издержек, связанных с дополнительным привлечением ресурсов, требуемых для обеспечения обслуживания. В то же время, увеличивающиеся очереди связаны с понижением уровня обслуживания, что ведёт к увеличению издержек ожидания: потеря клиентов и недополученная выгода, в связи с падением престижа и т.д.

Итак, системы МО связаны с двумя видами издержек: издержки обслуживания, увеличивающиеся при повышении уровня обслуживания, и издержки, связанные с ожиданием, уменьшающиеся с увеличением уровня обслуживания. Как видно из рисунка 8.1, существует точка минимума общих издержек системы МО.

Рисунок 8.1 – Соотношение уровня обслуживания и связанных с ним издержек

Определение оптимального уровня обслуживания, минимизирующего суммарные издержки системы МО, и является одной из основных задач при разработке и эксплуатации систем МО.