Геометрическая интерпретация игр 2х2

Игру 2х2 можно решить графическим методом.

Пусть

На оси абсцисс (рисунок 7.1) отложим единичный отрезок А₁А₂. Точка А₁ (х = 0) изображает стратегию А₁, а все промежуточные точки этого отрезка – смешанные стратегии S_A первого игрока, причём расстояние от S_A до правого конца отрезка – это вероятность р₁ стратегии А₁, расстояние до левого конца – вероятность р₂ стратегии А₂.

На перпендикулярных осях I – I и II – II откладываем выигрыш при стратегиях А₁ и А₂ соответственно. Если 2-й игрок примет стратегию В₁, то она даёт выигрыш а₁₁ и а₂₁ на осях I – I и II – II, соответствующие стратегиям А₁ и А₂. Обозначим эти точки на осях I – I и II – II буквой В₁. Средний выигрыш v₁, соответствующий смешанной стратегии S_A, определяется по формуле математического ожидания и равен ординате точке М, которая лежит на отрезке В₁В₁ и имеет абсциссу S_A (рисунок 7.1).

Аналогично строим отрезок В₂В₂, соответствующий применению вторым игроком стратегии В₂ (рисунок 7.2). При этом средний выигрыш – ордината точки М₂.

В соответствии с принципом минимакса оптимальная стратегия такова, что минимальный выигрыш игрока А (при наихудшем поведении игрока В) обращается в максимум. Ординаты точек, лежащих на ломаной (рис. 7.3), показывают минимальный выигрыш игрока А при использовании им любой смешанной стратегии (на участке B₁N – против стратегии B₁, на участке NB₂ – против стратегии В₂). Оптимальную стратегию определяет точка N, в которой минимальный выигрыш достигает максимума. Её ордината равна цене игры v. На рисунке 7.3 обозначены также верхняя и нижняя цены игры α и β.

Пример 7.4. Решить графически игру, заданную платёжной матрицей

,

Решение. Откладываем на оси абсцисс (рисунок 7.4) единичный отрезок А₁А₂. На вертикальной оси I – I откладываем отрезки a₁₁ = 1,5, соответствующий стратегии В₁, и а₁₂ = 3, соответствующий стратегии В₂. На вертикальной оси II – II отрезок а₂₁ = 2, соответствующий стратегии В₁, отрезок а₂₂ = 1 соответствует стратегии В₂. Нижняя цена игры α = а₁₁ = 1,5. Верхняя цена игры β = а₂₁ = 2, седловая точка отсутствует. Из рисунка 7.4 видно, что абсцисса точки N определяет оптимальную стратегию , а ордината – цену игры v. Точка N является точкой пересечения прямых В₁В₁ и В₂В₂.

Уравнение прямой В₁В₁, проходящей через точки (0; 1,5) и (1; 2):

или у = 0,5х + 1,5.

Уравнение прямой В₂В₂, проходящей через точки (0; 3) и (1; 1):

или у = 2х + 3.

Точка пересечения прямых является решением системы

или х = 0,6, у = 1,8, т.е. N(0,6; 1,8).

Таким образом, р₁^* = 0,6, р₂^* = 1 – 0,6 = 0,4, оптимальная стратегия S_А^* = (0,6; 0,4), цена игры v = 1,8.

Геометрически можно также определить оптимальную стратегию игрока В, если поменять местами игроков А и В и вместо максимума нижней границы А₂ М А₁ в соответствии с принципом минимакса (рисунок 7.5) рассмотреть минимум верхней границы.

Абсцисса точки М определяет q₂^* в оптимальной стратегии игрока В, ордината этой точки – цена игры. Прямая А₁А₁, проходящая через точки (0; 1,5) и (1; 3) удовлетворяет уравнению у = 1,5х + 1,5.

Прямая А₂А₂, проходящая через точки (0; 2) и (1; 1), удовлетворяет уравнению у = – х + 2. Координаты точки пересечения М являются решением системы уравнений

Решив систему, получаем х=0,2; у= 1,8, т.е. q₂^* = 0,2; q₁^* = 1 – q₂^*=0,8, υ = у = 1,8, S_В^* = (0,8; 0,2).

Из решения примера 7.4 следует, что геометрически можно определять оптимальную стратегию как игрока А, так и игрока В; в обоих случаях используется принцип минимакса, но во втором случае строится не нижняя, а верхняя граница выигрыша и на ней определяется не максимум, а минимум.

Если платёжная матрица содержит отрицательные числа, то для графического решения задачи нужно перейти к новой матрице с неотрицательными элементами; для этого к элементам исходной матрицы достаточно добавить соответствующее положительное число. Решение игры при этом не изменится, а цена игры увеличится на это число. В примере 7.4 платёжная матрица не имела седловой точки (α ≠ β). При наличии седловой точки графическое решение дают варианты, изображённые на рисунках 7.6 и 7.7.

На рисунке 7.6 наибольшей ординатой на ломаной B₁NB₂ обладает точка B₂, поэтому оптимальной стратегий является чистая стратегия А₂ для игрока А (B₂ – для игрока В), т.е. оптимальное решение: S_А^* = (0; 1), S_В^* = (0; 1). Игра имеет седловую точку а₂₂ = v.

Чистая стратегия B₂ (рисунок 7.7) не выгодна для игрока В, поскольку при любой стратегии игрока А она даёт последнему больший выигрыш, чем чистая стратегия B₁. На основании принципа минимакса выделим прямую B₁B₁ и на ней точку B₁ с наибольшей ординатой на оси I – I. Чистая стратегия А₂ является оптимальной для игрока А, а чистая стратегия игрока B₁ – для игрока В. Оптимальное решение: S_А^* = (0; 1), S_В^* = (1; 0), цена игры v = а₂₁ = α = β, т.е. имеется седловая точка.

Графический метод можно применять при решении игры 2хn и mx2.