Моделирование потоков отказов элементов сложных технических систем

Под сложной технической системой будем понимать систему, состоящую из элементов (два и более). Отказ одного из элементов системы приводит к отказу системы в целом.

Рассмотрим последовательность замен некоторого определенного элемента Z данного наименования. Эксплуатация каждого нового элемента начинается с момента окончания срока службы предыдущего. Первый элемент отрабатывает время t ₁, второй - t ₂, третий - t ₃ и т. д.

Случайная ситуация, сложившаяся в k -м опыте (ситуации) для элемента Z, показана на рис. 2.1.

Рис. 2.1. Временная эпюра случайной ситуации при k -м опыте в случае мгновенного восстановления отказавшей системы путем замены элемента

На рис. 2.1 видно, что система начинает свою работу в момент времени t = 0 и, отработав случайное время t _{1 k} , выходит из строя в момент t _{1 k} = t _{1 k} . В этот момент система мгновенно восстанавливается (элемент заменяется) и снова работает случайное время t _{2 k} . По истечении некоторого времени система (элемент) вновь выходит из строя в момент и вновь мгновенно восстанавливается.

Считают, что интервалы времени между отказами t _{1 k} , t _{2 k} ,.... t_pk представляют собой систему взаимно независимых случайных величин с плотностями распределения наработок между отказами f ( t ₁), f ( t ₂), …, f ( t_p).

Моменты отказов или восстановлений образуют в каждом k -м опыте (испытании) ряд чисел по следующему правилу:

(2.3)

или

. (2.4)

где t_ik - время работы (наработка) элемента до i -го отказа в k –м опыте, час,

, .

t_ik - время работы (наработка) элемента между (i -1)-м и i -м отказами в k –й реализации, час, , .

Числа t _{1 k} , t _{2 k} ,..., t_pk образуют случайный поток, который назы­вается процессом восстановления. Этот процесс является различным для различных элементов и продолжается до окончания срока служ­бы системы. Изучением таких процессов занимается теория восста­новления.

Из большого количества различных процессов восстановления для исследования надежности элементов технической системы (как неремонтируемых, так и ремонтируемых) используют три типа про­цессов:

- простой, при котором все функции распределения наработок до первого и между последующими отказами F_i (t) равны;

- общий, при котором вид функции распределения наработки до первого отказа элемента, установленного в системе заводом-изготовителем, отличается от вида функций распределения нара­боток элементов при последующих заменах, т. е. , i = 2, 3, 4,…

- сложный, при котором все функции распределения F_i (t) раз­личны.

Основной характеристикой процесса восстановления является функция восстановления и ее дифференциальная характерис­тика - плотность восстановления , определяемые по следую­щим формулам:

; (2.5)

; (2.6)

где F_n (t) и f_n (t) - соответственно плотность и функция распределения на­работки до n -го отказа.

В случае независимости наработок между отказами функции распределения F_n (t) наработок до n -го отказа находятся путем по­следовательного применения правила свертки для суммы двух слу­чайных величин:

; (2.7)

F ₁(t) = F (t).

Следует от­метить, что сложность получения аналитических выражений для и по формулам (2.5), (2.6) состоит в том, что свертка (2.7) лишь для некоторых законов распределения вычисляется в конечном виде. Использование аналитических методов расчета плотности и функции восстановления ограничено из-за сложности математической формализации применяемых стратегий восстановления работоспособности технических систем и необходимости учета множества факторов, влияющих на замену элемента в системе. В этих условиях наиболее эффективным методом расчета и является метод Монте-Карло.

Расчет ведущей функции и параметра потока отказов этим методом в случае простого, общего или сложного процессов производится в следующем порядке.

По известным законам распределения наработок элементов с использованием формул преобразования, моделируются массивы случайных величин t_ik между (i -1)-м и i -м отказами. Размерность каждого массива равна N.

Далее вычисляются значения наработок до i -го отказа t_ik по следующим формулам:

; (2.8)

, (2.9)

где i – номер отказа,

k – номер реализации при моделировании,

p – максимальное число отказов элемента, получаемое в k-й реализации случайного процесса

Затем полученные случайные величины наработок t_ik группиру­ются по интервалам времени.

Номера интервалов, в которые попадают моменты возникнове­ния отказов t _{1 k} , t _{2 k} ,..., t_ik,..., t_pk определяются по формуле:

, (2.10)

где - наименьшее целое число, не меньшее ;

t_i - величина интервала времени

Параметр и ведущая функция потока отказов в j -м интервале времени определяется по следующим формулам:

; (2.11)

; (2.12)

где n_ij - число попаданий случайной наработки до i -го отказа t_ik в j -й ин­тервал времени () за N реализаций.

; (2.13)

. (2.14)

где h - максимальное число интервалов времени.

Пример 2.1. Законы распределения наработок элемента системы до первого и второго отказов и соответствующие параметры этих законов приведены в следующей таблице:

№ отказа	Закон распределения	Параметры закона
a ()	b
	Вейбула	1,4	45,8
	Экспоненциальный	0,3	-

Определите номера временных интервалов, на которых про изойдут первый и второй отказы в ходе первого опыта (испытания) ( t_i = 1 час).

Date: 2015-10-21; view: 697; Нарушение авторских прав