Одноканальная СМО с ожиданием

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание - простейший поток с интенсивно­стью . Интенсивность потока обслуживания равна (т. е. в сред­нем непрерывно занятый канал будет выдавать обслуженных за­явок). Длительность обслуживания - случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Поток обслужива­нии является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 1.2.

Рис. 1.2. Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S ₀ - «канал свободен»;

S ₁ - «канал занят» (очереди нет);

S ₂ - «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

…………………………………………………….

S_n - «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);

S_N - «канал занят» (N - 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

, (1.10)

где ; n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для на­шей модели СМО имеет вид:

(1.11)

(1.12)

Тогда

Следует отметить, что выполнение условия стационарности для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превы­шать N - 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N - 1):

- вероятность отказа в обслуживании заявки:

(1.13)

- относительная пропускная способность системы:

(1.14)

- абсолютная пропускная способность:

(1.15) - среднее число находящихся в системе заявок:

(1.16)

- среднее время пребывания заявки в системе:

(1.17)

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

(1.18)

- среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

(1.19)

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 1.2. Специализированный пост диагностики представ­ляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомоби­лей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3 [(N - 1) = 3]. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже нахо­дится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток ав­томобилей, прибывающих на диагностику, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность = 0,85 (автомобиля в час). Вре­мя диагностики автомобиля распределено по показательному зако­ну и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики поста ди­агностики, работающего в стационарном режиме.