Условная вероятность

Теорема 1 (сложения)

Если события и несовместны, то вероятность наступления хотя бы одного из событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е.

.

Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий: .

Теорема 2 (сложения)

Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: .

Событие называется независимым от события , если появление события не зависит от появления события . В противном случае события называются зависимыми.

Условной вероятностью называется вероятность события , вычисленная в предположении, что событие уже произошло.

Теорема 3 (умножения)

Вероятность совместного появления двух событий и равна

(причем неважно, которое из событий считать первым, а которое – вторым).

Если события и независимы, то теорема умножения примет вид:

.

Аналогично теорема умножения распространяется на случай нескольких событий:

для зависимых: ,

для независимых: .

Пример 13. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями, если вероятность поражения первым равна 0,8, а вторым – 0,7.

Решение. Обозначим: А={поражение первым орудием}, В={поражение вторым орудием}. Тогда = 0,8 × 0,7= 0,56 по теореме умножения для независимых событий.

Ответ: 0,56.

Пример 14. Два орудия произвели залп по цели. Вероятность поражения цели одним из них равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятность того, что цель была поражена только одним орудием.

Решение. По условию = 0,8 = 0,2; = 0,7 = 0,3.

Очевидно, что , где ={цель поражена только одним орудием}, ={цель поражена только первым}, ={цель поражена только вторым}. По теореме сложения для несовместных событий . Причем , a – по теореме умножения для независимых событий. Тогда = 0,8 × 0,3 + 0,2 × 0,7 = 0,38.

Ответ: 0,38.

Пример 15. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула окажется:

1) только в одном справочнике;

2) только в двух справочниках;

3) во всех трех справочниках.

Решение. По условию ;

;

.

1. Пусть ={формула только в одном справочнике}, тогда

=0,6 × 0,3 × 0,2 + 0,4 × 0,7 × 0,2 + 0,4 × 0,3 × 0,8= = 0,188.

2. Пусть ={формула только в двух справочниках}, тогда =0,6 × 0,7 × 0,2+0,4 × 0,7 × 0,8 + 0,6 × 0,3 × 0,8 = =0,452.

3. Пусть ={формула во всех трех справочниках}, тогда

= 0,6 × 0,7 × 0,8 = 0,336.

Ответ: 1) 0,188; 2) 0,452; 3) 0,336.

Теорема 4 (вероятность появления хотя бы одного события).

Пусть известны вероятности появления каждого из независимых событий: , , …, , тогда вероятность появления хотя бы одного из них равна , где .

Пример 16. Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула окажется в первом, втором, третьем справочниках соответственно равны 0,6, 0,7 и 0,8. Найти вероятность того, что формула окажется хотя бы в одном справочнике.

Решение. По условию ;

;

.

Пусть ={формула хотя бы в одном справочнике}, тогда

=1 – 0,4 × 0,3 × 0,2 = 0,976.

Ответ: 0,976.