Классическое определение вероятности

Основными понятиями в теории вероятностей являются понятия события и вероятности события.

Событие – это такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации данного комплекса условий может произойти или не произойти. События будем обозначать буквами , , …

Пример 6. Стрелок стреляет по мишени.

Тогда – «выстрел» – это испытание, а ={попадание} – это событие.

Если событие неизбежно произойдет при любых условиях, то оно называется достоверным. Если событие не может произойти при любых условиях, то его называют невозможным.

Если событие при реализации некоторых условий может произойти, а может не произойти, то оно называется случайным.

Сумма (объединение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении или , или , или и одновременно (хотя бы одного из них). Обозначается .

Произведение (совмещение) двух событий и – это событие , состоящее в наступлении и , и (оба наступают). Обозначается .

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Полной группой событий называется несколько попарно несовместных таких событий, что в результате испытания появится одно и только одно из этих событий (как правило, это всевозможные исходы испытания). Обозначается .

Пример 7. Бросают две монеты.

Тогда множество W состоит из трех событий – , , :

= {обе выпали орлом},

= {обе выпали решкой},

= {одна выпала орлом, а другая – решкой}.

Два несовместных события, образующих полную группу, называются противоположными. Обозначают и .

Пример 8. Подбрасывают одну монету. Тогда = {выпал орел}, а

= {выпала решка}.

Замечание. Событие – достоверное событие, а событие – невозможное.

Для количественной оценки появления случайного события А вводится понятие вероятности.

Вероятностью события называют отношение числа благоприятных для исходов испытания к общему числу исходов. Если обозначить – число благоприятных для исходов, а – число всевозможных, то

(классическое определение вероятности).

Пример 9. Найти вероятность выпадения «герба» при одном бросании монеты.

Решение. (так как при одном бросании «герб» может выпасть только один раз), а (общее количество исходов испытания).

Значит, .

Ответ: 0,5.

Свойства вероятности:

1. Пусть – достоверное событие, тогда любой исход испытания благоприятен наступлению , т. е. , тогда .

2. – невозможное событие, тогда ни один исход испытания не будет благоприятствующим, т. е. , тогда .

3. – случайное событие, , тогда , т. е. .

4. .

Замечание. Вероятности противоположных событий удобнее обозначать буквами и : , .

Пример 10. В урне 12 шаров: 3 белых, 4 черных и 5 красных. Какова вероятность вынуть один черный шар?

Решение. Вообще один шар можно достать 12 способами Þ , а черный шар можно достать 4 способами . Тогда , где ={достали черный шар}.

Ответ: .

Пример 11. В урне 5 белых и 8 черных шаров. Вынули сразу два шара. Какова вероятность того, что оба они белые.

Решение. Число всевозможных исходов испытания равно

(взять 2 из 13),

а число благоприятных для события = {оба шара белые} равно

(взять 2 белых из 5 белых).

Тогда .

Ответ: .

Пример 12. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам отобраны 7 человек. Какова вероятность того, что среди отобранных лиц будут три женщины.

Решение. Число всевозможных исходов испытания равно:

а число благоприятных для А={из 7 отобранных 3

женщины} равно:

(выбрать трех женщин из четырех и четырех мужчин из

шести). Тогда .

Ответ: 0,5.