Тема 1. Эквивалентность множеств

1. Взаимно однозначное соответствие.

2. Эквивалентные множества.

3. Понятие мощности множества.

См. список литературы: [4, гл. 1.6]; [5, гл.1.3].

Краткие теоретические сведения

Отображение f: А → В называется взаимно однозначным соответствием, если для любого y В найдется один элемент х А такой, что f(x) = y.

Если между множествами А и В можно установить взаимно однозначное соответствие, то множества называются эквивалентными или равномощными. Это обозначается так: А ~ В.

Задачи

1. Привести примеры элементарных функций, устанавливающих взаимно однозначное соответствие между областью определения и множеством значений.

2. Установить взаимно однозначное соответствие между:

а) отрезками [ a; b ] и [ c; d ];

б) интервалами (a; b) и (c; d);

в) полуинтервалом [0; 1) и лучом [0; ∞).

3. Устанавливают ли функции и взаимно однозначное соответствие между областью определения и множеством значений?

4. Пусть φ: А → В – строго монотонная функция. Доказать, что отображение φ – взаимно однозначное.

5. Пусть φ: (a; b) → (c; d) – непрерывная функция, имеющая экстремум в точке х₀ (a; b). Показать, что отображение φ не является взаимно однозначным.

6. Можно ли с помощью непрерывной функции взаимно однозначно отобразить

а) отрезок [ a; b ] на интервал (a; b);

б) отрезок [ a; b ] на множество [ c; d ] [ m; n ], где [ c; d ] [ m; n ] = Ø?

7. Показать, что отношение эквивалентности (~) обладает следующими свойствами:

a) А ~ А – рефлексивность;

b) (А ~ В) (В ~ А) – симметричность;

c) (А ~ В) (В ~ С) (А ~ С) – транзитивность.

8. Показать, что если А ~ А₁, В ~ В₁ и А В = Ø, А₁ В₁ = Ø,

то А В ~ А₁ В₁.

9. Пусть А = А _i, B = B _i и А _i A _j = B_i B_j при i j. Доказать, что если А _i ~ B _i, то А ~ В.

10. Пусть f: X → Y – взаимно однозначное отображение; А X, B Y. Доказать: f (А В) = f (А) f (В).

11. Пусть f: X → Y – взаимно однозначное отображение; А X, B Y. Доказать: f (А \ В) = f (А) \ f (В).

12. Пусть А В С и φ: A → C – взаимно однозначное отображение. Показать, что А \ В ~ С \ φ(В).

13. Установить взаимно однозначное соответствие между отрезком [0;1] и интервалом (0; 1).

14. Используя результаты задачи №13, установить взаимно однозначное соответствие между

а) отрезком [0; 1] и числовой прямой (– ∞; ∞);

б) лучом [0; ∞) и интервалом (a; b).

15. Покажите, что любые два из бесконечных множеств действительных чисел: [α; β], [α; β), (α; β], (α; β), [α; ∞), (α; ∞), (– ∞; β], (– ∞; β) и (– ∞; ∞), где α, β – действительные числа и α < β, являются равномощными.

16. Установить взаимно однозначное соответствие между множеством всех рациональных чисел отрезка [0;1] и множеством всех точек с рациональными координатами квадрата [0;1] [0;1].

17. Докажите равномощность множества действительных и множества иррациональных чисел.