Пример 2. Механизм (рис. 2.10, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами

Механизм (рис. 2.10, а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползуна , соединенных друг с другом и с неподвижными опорами и шарнирами.

Дано: , , , , , , м, м, м, с^-1, с^-2 (направления и – против хода часовой стрелки).

Определить: , , , , .

Решение:

1. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами и выбранным масштабом длин (рис. 2.10, б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).

2. Определяем . Точка принадлежит стержню . Чтобы найти , надо знать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление . По данным задачи, учитывая направление , можем определить . Численно:

м/с,

. (1)

Направление найдем, учтя, что точка принадлежит одновременно ползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная и направление , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела (стержня ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая ). Сначала по этой теореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростей должны иметь одинаковые знаки). Затем, вычисляя эти проекции, находим

, м/с. (2)

3. Определяем . Точка принадлежит стержню . Следовательно, по аналогии с предыдущим, чтобы определить , надо сначала найти скорость точки , принадлежащей одновременно стержню . Для этого, зная и , строим мгновенный центр скоростей (МЦС) стержня . Это точка , лежащая на пересечении перпендикуляров к и , восставленных из точек и (к перпендикулярен стержень 1). По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг МЦС . Вектор перпендикулярен отрезку , соединяющему точки и , и направлен в сторону поворота. Величину найдем из пропорции:

. (3)

Чтобы вычислить и , заметим, что – прямоугольный, так как острые углы в нем равны 30° и 60°, и что . Тогда является равносторонним и . В результате равенство (3) дает

м/с, . (4)

Так как точка принадлежит одновременно стержню , вращающемуся вокруг , то . Тогда, восставляя из точек и перпендикуляры к скоростям и , построим МЦС стержня . По направлению вектора определяем направление поворота стержня вокруг центра . Вектор направлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. 2.10,б видно, что , откуда . Составив теперь пропорцию, найдем, что

, м/с. (5)

4. Определяем . Так как МЦС стержня 2 известен (точка ) и м, то

с^–1. (6)

5. Определяем (рис. 2.10, в, на котором изображаем все векторы ускорений). Точка принадлежит стержню . Чтобы найти , надо знать ускорение какой-нибудь другой точки стержня и траекторию точки . По данным задачи можем определить , где численно

м/с²,

м/с². (7)

Вектор направлен вдоль , а – перпендикулярно . Изображаем эти векторы на чертеже (см. рис. 2.10, в). Так как точка одновременно принадлежит ползуну, то вектор параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор на чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и .

Для определения воспользуемся равенством

. (8)

Изображаем на чертеже векторы (вдоль от к ) и (в любую сторону перпендикулярно ). Численно Найдя с помощью построенного МЦС стержня 3, получим

с^–1, м/с². (9)

Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны только числовые значения и . Их можно найти, спроектировав обе части равенства (8) на две оси.

Чтобы определить , спроектируем обе части равенства (8) на направление (ось ). Тогда получим

. (10)

Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9), найдем, что

м/с². (11)

Так как получилось , то, следовательно, вектор направлен как показано на рис. 2.10, в.

6. Определяем . Чтобы найти , сначала определим . Для этого обе части равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное (ось ). Тогда получим:

. (12)

Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7), найдем, что м/с². Знак минус указывает, что направление противоположно показанному на рис. 2.10, в. Теперь из равенства получим:

с^–2.

Ответ: м/с, м/с, с^–1, м/с², с^–2.

Примечание. Если точка , ускорение которой определяется, движется не прямолинейно (например, как на рис. 2.0–2.4, где движется по окружности радиуса ), то направление заранее неизвестно.

В этом случае также следует представить двумя составляющими () и исходное уравнение (8) примет вид

. (13)

При этом вектор (см., например, рис. 2.0) будет направлен вдоль , а вектор – перпендикулярно в любую сторону. Числовые значения , и определяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиям задачи может быть или , если точка движется прямолинейно).

Значение также вычисляется по формуле , где — радиус окружности , а определяется так же, как скорость любой другой точки механизма.

После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения и , и они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеих частей равенства (13) на две оси.

Найдя , можем вычислить искомое ускорение . Величина служит для нахождения (как в рассмотренном примере).