Диференціальне формулювання потенціальності електростатичного поля

Як і у теоремі Гаусса ми переходили до диференціальних величин за допомогою теореми Остроградського, так само перейдемо до диференціальної характеристики потенціального поля за допомогою формули Стокса. Формула Стокса встановлює зв’язок циркуляції векторного поля по контуру із потоком ротора (вихра) цього вектора через поверхню, обмежену цим контуром:

.

Коли контур дуже малий, ротор у ньому можна вважати сталим, і переписати рівняння Стокса у вигляді рівності проекції ротора вектора на довільний напрямок відношенню циркуляції вектора по нескінченно малому замкнутому контуру до нескінченно малої площі, яку цей контур охоплює

.

Таким чином вводять поняття ротора (згадайте, аналогічно через формулу Остроградського ми вводили дивергенцію). Ротор векторної величини є величиною векторною, і являє собою векторний добуток оператора набла на відповідний вектор

.

Отже, наклавши умову потенціальності електростатичного поля на вираз для проекції ротору на довільний напрямок, маємо

.

Оскільки ніяких обмежень на вектор не накладалось, він був довільним, то це означає, що і

.

Фізичний зміст ротору – це наявність чи відсутність у векторному полі циркуляції по замкнутому контуру.

З умови випливає, що електростатичне поле є безвихровим, тобто циркуляція вектора напруженості електричного поля у ньому відсутня. У ньому немає замкнутих силових ліній. Всі вони починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних, хоча б і індукованих.

І останнє зауваження. Умови потенціальності електростатичного поля як у інтегральному вигляді, так і у диференціальному вигляді є частинними випадками рівнянь Максвелла! (так само як і обидва вигляди теореми Остроградського-Гаусса.