Зв’язок між напруженістю електростатичного поля та потенціалом

Ми вже переконалися, що електричне поле можна характеризувати як вектором напруженості електричного поля, так і потенціалом. Хоч одна із величин векторна, а друга скалярна, вони характеризують той самий об’єкт. Отже, можна очікувати, що між ними існує зв’язок.

Нехай є електричне поле . Виберемо декартову систему координат. Електричне поле має три проекції вздовж осей . Виберемо 2 точки із координатами та . Ці точки лежать на прямій, паралельній осі , на нескінченно малій відстані .

Різницю потенціалів між точками 1 і 2 можна записати двома способами. З одного боку,

,

оскільки вздовж напрямку діє лише одна складова вектора напруженості електричного поля. З іншого боку,

,

скористалися малим приростом потенціалу по осі . По решті координат приросту немає, отже складові відсутні.

Порівнявши обидва рівняння, маємо

.

Оскільки вісь вибиралася нами довільно, а всі компоненти рівноцінні, то ніхто не заборонить нам записати такі ж рівняння і для інших координат

; .

Знов згадаємо, що напруженість електричного поля – вектор, тому

.

Підставивши вирази для координат вектору напруженості електричного поля через потенціали, маємо

.

Оскільки потенціал є скаляром, винесемо його з під знаку вектора

.

Остаточно, отримуємо зв’язок між вектором напруженості електричного поля та потенціалом

.

Цей зв’язок дає нам можливість ввести одиниці виміру напруженості електричного поля, яку ми так тактовно обминули раніше. В системі Гаусса вона не має власної назви, тому не буду вас плутати одиницями CGSE.

В системі СІ напруженість електричного поля вимірюється

.

Дуже широко вживається і , це похідна одиниця системи СІ, не системи Гаусса, оскільки у ній немає В.