Вектор напруженості електростатичного поля. Принцип суперпозиції полів

Тепер давайте задумаємось над ось таким питанням. При дослідженні електростатичної взаємодії зарядів чому виникають сили, які діють на заряди, і як вони передаються від одного заряду до іншого?

Не буду детально зупинятись на позиціях далекодії і близькодії, погодимось із висновками Фарадея, Максвелла та інших кращих голів минулого про роль матерії у цих процесах передачі дії, а, отже, про признання близькодії.

Щоб зрозуміти походження і передачу сил, які діють між зарядами, слід припустити наявність між зарядами деякого фізичного агента, який здійснює взаємодію. Цим агентом є електричне поле. Електричне поле виникає біля зарядів у спокої. Коли ж заряди рухаються, або біля магнетиків, виникає магнітне поле, тобто матерія, фізичний агент, що передає магнітну взаємодію. Електричні і магнітні поля можуть перетворюватись одне у друге, і, власне, кожне з них є частинним випадком загальнішого електромагнітного поля. Але про це далі.

Будь-яке поле є матеріальним об’єктом, об’єктивною реальністю. Основною властивістю поля є те, що на заряд, поміщений у поле, починає діяти сила. Результат дії цієї сили можна зафіксувати.

Електричне поле треба охарактеризувати якоюсь величиною. Давайте візьмемо окремий заряд і розмістимо його у вакуумі. Якщо у довільну точку помістити інший заряд , між ними почне діяти сила. Наявність заряду змінює властивості оточуючого простору. Якщо ми поміщаємо туди ще один (пробний) заряд , виникає сила взаємодії. Так виникає поле сил.

Якщо не буде одного із зарядів, то другому не буде на що діяти, тому поняття сили електростатичної взаємодії можна розглядати по відношенню до двох тіл як мінімум. Якщо ж у просторі існують електричні сили, що проявляються при внесенні у нього електричних зарядів, то ми кажемо, що у ньому існує електричне поле.

Поле буде залежати від величини заряду. Очевидним здається, що чим більший заряд ми створимо, тим більше поле отримаємо. Якщо ми зафіксуємо величину заряду , то поле буде сталим. А от на пробний заряд буде діяти різна сила, пропорційна величині заряду . Щоб охарактеризувати кількісно величину електричного поля, створеного фіксованим зарядом, незалежно від величини пробного заряду, можна

1. У системі CGSE покласти ;

2. У системі SI віднести величину сили до величини пробного заряду ;

і тоді оскільки відношення сили, що діє на пробний заряд, до величини даного заряду не залежить від величини пробного заряду, воно може слугувати характеристикою поля у точці, де знаходиться заряд.

Ця величина називається напруженістю електростатичного поля. Її означення можна сформулювати і так:

Напруженість електростатичного поля – це сила, що діє з боку поля на одиничний позитивний заряд у вакуумі.

Вираз для напруженості електричного поля відрізняється у різних системах одиниць:

система CGSE;

система SI.

Отже, напруженість електростатичного поля, створеного точковим зарядом, прямо пропорційна величині цього заряду і обернено пропорційна квадрату відстані від нього, на якій вимірюється це поле. Звичайно ж, сила, з якою це поле діє на сторонній заряд, визначається як .

Оскільки за означенням напруженість поля є силою, то для електричних полів також справедливим є принцип суперпозиції

,

тобто сумарний вектор напруженості електростатичного поля є геометричною сумою всіх складових.

Теорема Остроградського-Гаусса

Електростатичне поле є векторним. Векторне поле – це поле, у кожній точці якого вектор визначений за абсолютною величиною і напрямком. Якщо відомий розподіл окремих точкових зарядів у просторі, то сумарне поле цих зарядів може бути визначеним, користуючись принципом суперпозиції. Такого роду операція у загальному випадку є дуже складною. У багатьох випадках, особливо достатньо симетричних, ця задача може бути розв’язана використанням певних теорем.

Зараз ми розглянемо теорему Остроградського-Гаусса і подивимось, як елегантно можна знайти величину електростатичного поля за її допомогою. Михайло Остроградський народився на Україні, у Полтавській губернії, навчався у Харкові і Парижі, працював потім у Петербурзі. У 1828 році довів теорему о перетворенні інтегралів, якою скористався у 1839 році Карл Фридрих Гаусс, застосувавши її до електричних явищ.

З поняттям потоку реального об’єкту ви вже зустрічались у механіці (потік рідини, повітря), молекулярній фізиці (потік молекул). З потоком вектору зустрічались хіба у курсі матаналізу.

Розглянемо будь-яку векторну величину . Під певним кутом він направлений на малу площадку (зверніть увагу, кут падіння відраховується від нормалі до поверхні). Та частина поверхні, в яку нормаль входить, називається внутрішньою, а з якої вона виходить – зовнішньою.

Як ми вводили минулого року поняття потоку? Потік – це кількість чогось (речовини, а можна й вектору), що проходить за одиницю часу через одиничну площадку перпендикулярно до неї. Випадок у нас стаціонарний, тож час нас не цікавить. Запишемо потік вектору через площадку згідно із цим означенням потоку:

.

Друга рівність береться із означення скалярного добутку, оскільки чисельно він дорівнює проекції вектора на нормаль.

Якщо нам потрібно знайти повний потік через всю поверхню, ми інтегруємо по всій поверхні

.

Для потоків величин, як і для самих векторів існує принцип суперпозиції. Якщо справджується рівність

,

то домноживши доданки на , отримаємо

,

тобто якщо вектори додаються геометрично, потоки цих величин через одну й ту ж площадку додаються алгебраїчно.

Окремим випадком слід розглянути потік через замкнуту поверхню

.

Остроградський показав, що потік вектора через замкнуту поверхню дорівнює інтегралу від дивергенції цього ж вектора по об’єму, який ця поверхня охоплює

.

Коли об’єм настільки малий, що дивергенцію у ньому можна вважати сталою, можна переписати рівняння Остроградського у вигляді відношення потоку векторної величини через нескінченно малу замкнуту поверхню до нескінченно малого об’єму, який ця поверхня охоплює

.

Саме таким чином найчастіше вводять поняття дивергенції. Дивергенція векторної величини є величиною скалярною, нагадаю, що у декартових координатах вона має вигляд (скалярний добуток оператора набла на сам вектор)

.

Фізичний зміст дивергенції – це кількість джерел чи стоків, охоплених замкнутою поверхнею. Звичайно, що для напруженості електричного поля , джерелами та стоками є заряди, оскільки саме вони породжують електричне поле.

Якщо, це є наслідком рівності нулю потоку вектора через цю поверхню, а отже всередині немає ані джерел векторного поля, ані стоків. У нашому конкретному випадку електростатики це означає, що всередині немає зарядів. Якщо ж, то вона буде дорівнювати сумарній кількості джерел або стоків (тобто зарядів).

Все це дає нам можливість перейти безпосередньо до доведення теореми Гаусса. Вона визначає потік вектора напруженості електричного поля через довільну замкнуту поверхню.

Візьмемо точковий заряд . Він створює у просторі електростатичне поле. Візьмемо у просторі довільну елементарну площадку , проведемо до неї нормаль . Площадку з точкового заряду видно у тілесному куті .

За означенням потоку потік вектора напруженості електричного поля через елементарну площадку запишемо як

.

З іншого боку, напруженість електростатичного поля, створеного точковим зарядом,

.

Підставимо його у вираз для потоку

.

Останній вираз отримали із таких міркувань. Розпишемо окремо скалярний добуток

.

Величина

є за означенням ні чим іншим, як отим тілесним кутом , у якому точковий заряд дивиться на площадку . Умовлено вважати, що тілесний кут додатній, якщо заряд дивиться на виділену площадку із внутрішнього боком, та від’ємний – коли із зовнішнього, це визначається знаком косинусу у попередньому виразі, тобто взаємним розташуванням вектора нормалі до поверхні та радіус-вектора, направленого з точкового заряду до вибраної поверхні.

Остаточно вираз для потоку вектору напруженості електричного поля набуває вигляду

.

Потік вектора напруженості електричного поля точкового заряду буде визначатись тією частиною, яка попадає у виділений тілесний кут. Зверніть увагу, результат не залежить від форми поверхні, а тільки від тілесного кута, під яким ця поверхня видна.

Потік вектора напруженості електричного поля через довільну незамкнуту поверхню визначається інтегруванням попереднього виразу. Оскільки величина заряду не залежить від положення площадки, її виносимо з-під знаку інтегралу

.

У випадку замкнутої поверхні, через яку ми шукаємо потік, ситуація ускладнюється. Тут треба розглядати різні випадки взаємного розташування заряду та поверхні та різні конфігурації поверхні.

1. Заряд знаходиться всередині замкнутої поверхні. Простішою є ситуація, коли тілесний кут від заряду вирізає лише одну елементарну площадку. Тоді задача зводиться до звичайного інтегрування по повному тілесному куту

.

Частинним випадком є знаходження заряду у сфері. Для неї також справедливий цей вираз.

Складнішим є випадок, коли тілесний кут (один і той же) відтинає кілька елементарних площадок. На рисунку наведена ситуація, коли відтинається три елементарні площадки . Але на кожних двох сусідніх площадках тілесний кут має протилежні знаки (але однакову величину), бо чергуються внутрішні і зовнішні сторони, і змінюється кожного разу напрямок вектору нормалі до поверхні. Тому і у цьому випадку працюватиме цей же самий вираз, оскільки залишиться тільки одна зовнішня елементарна площадка, що дає внесок.

2. Заряд знаходиться зовні замкнутої поверхні. Якщо заряд знаходиться зовні, то можна провести пучок дотичних до поверхні, сукупність яких утворює конус. У місці дотику конусу до поверхні утвориться замкнута лінія , що розділить поверхню на дві частини. Обидві частини видно від заряду під тим самим за абсолютною величиною тілесним кутом, але ліву частину під від’ємним (зовнішня поверхня), а праву – під додатнім. У цьому випадку потік вектору напруженості електричного поля складається з двох компонент: потоків через кожну частину, на які розділила поверхню лінія ,

,

де потоки через кожну частину поверхні.

3. Заряд знаходиться на поверхні. Цей випадок розглядати не будемо, оскільки на поверхні заряд не можна розглядати як точковий. Точковим він є на великих відстанях від об’єктів взаємодії. На поверхні це не справджується.

Підсумовуючи, можемо зробити висновок. Потік вектора напруженості електричного поля через замкнуту поверхню, створений точковим зарядом, дорівнює величині заряду, помноженій на

.

При цьому треба мати на увазі, що заряд знаходиться всередині такої поверхні.

Для окремого точкового заряду ми знайшли вираз. Але ж зрозуміло, що електрика має справу із сукупністю зарядів. Саме час застосувати принцип суперпозиції сил, полів і потоків. За принципом суперпозиції маємо

;

;

тобто нехай є сукупність точкових зарядів, поле є суперпозицією полів усіх точкових зарядів, потік напруженості сумарного електричного поля є суперпозицією потоків для окремих зарядів. Вираз для суперпозиції полів домножимо на та проінтегруємо. При цьому отримаємо вираз для потоку напруженості електричного поля

;

.

Після всіх перетворень ми нарешті отримали закон, що називається теорема Остроградського-Гаусса, або електростатична теорема Гаусса. Формулюється вона так: