Ці характеристики є локальними. Пов’яжемо їх із напруженістю електричного поля та вектором електричної індукції

Нехай є об’єм , площа поверхні якого , і у якому містяться точкові заряди, із сумарним зарядом . Тоді, нехтуючи дискретністю заряду, можемо записати

.

Тоді за теоремою Гаусса потік вектора електричної індукції через поверхню заданого об’єму

Тепер скористаємось, власне внеском Остроградського у закон. Він показав, що

.

Це дає нам можливість переписати рівняння Гаусса у вигляді

.

Чи завжди ці інтеграли рівні? Якщо при зміні меж інтегрування рівність зберігається, то підінтегральні вирази рівні. Звідси теорема Гаусса у диференціальній формі

в системі SI;

в системі CGSE.

Ці рівняння мають назву рівняння Пуассона. А яку вони ще мають назву? А це не що інше, як одне з рівнянь Максвелла у диференціальній формі! (Його інтегральний аналог – також).

Зверніть увагу на фізичний зміст рівнянь. Дивергенція – це кількість джерел та стоків. А яке у нас джерело поля? Заряд.

Давайте звернемось до силових ліній поля, щоб унаочнити картину. Нагадаю:

Силові лінії поля – це лінії, дотичні до яких у будь-якій точці співпадають із вектором напруженості електричного поля.

Оскільки дотична задасть два напрямки, то домовились за напрямок силової лінії вибрати напрямок дії сили на позитивний заряд. Також домовились лінії проводити густіше там, де поле вище. Ці домовленості узгоджуються із теоремою Гаусса та добре її ілюструють.

Треба ще зауважити, що силові лінії ніколи не обриваються у просторі, вони починаються на одному заряді, а закінчуються на іншому. На рисунках наведені силові лінії точкових зарядів. Коли вони поруч, то проблем із замиканням силових ліній не виникне. Вони почнуться на позитивному заряді, а закінчаться на негативному. А що, коли є тільки один заряд? А тоді силові лінії закінчуються або починаються на навколишніх предметах, на яких виникають індуковані заряди.

Крім того, силові лінії не можуть перетинатись, оскільки за означенням силової лінії, в кожній точці поля вектор напруженості має певний, цілком визначений напрямок.

Крім того, силові лінії завжди перпендикулярні контактам, інакше виникає складова струму вздовж контакту, що порушить закон збереження зарядів.

Давайте будемо проводити лінії так, щоб через площадку, перпендикулярну напрямку ліній, проходила кількість ліній рівна, або пропорційна напруженості електричного поля. Тобто у нас буде кількість силових ліній на одиницю площі, проекція вибраної площадки на площину, перпендикулярну напрямку силових ліній. Тоді кількість силових ліній, що проходить через всю площадку . З іншого боку, за означенням потоку вектора напруженості електричного поля

.

Візьмемо точковий заряд і оточимо його сферою довільного радіуса . Поле, яке він створить на такій відстані становить . Площа поверхні сфери, через яку пройде потік вектора напруженості електричного поля . Тоді величина потоку

.

Дивіться, яку красиву геометричну інтерпретацію закону Гаусса ми отримали. Ми взяли сферу на довільній відстані. Ближче до заряду – поле вище, кількість ліній більша, далі – менша. А потік не змінився. Він визначається лише величиною заряду; не буде заряду, буде відсутній потік.

Ще одна ілюстрація поведінки силових ліній як наслідку закону Гаусса. Візьмемо замкнутий контур площею і проведемо через нього силові лінії. Напрямок їх вказано. Вони утворять трубку. Виберемо інший переріз трубки . Розглянемо замкнуту поверхню, що утворилась. Зарядів всередині немає. Потік через бічну поверхню відсутній , тому нас цікавлять тільки потоки через перерізи. Вони мають різні знаки, оскільки нормалі до поверхонь направлені у різні боки. Сумарний потік становитиме . З іншого боку, за теоремою Гаусса відсутність зарядів у об’ємі означає відсутність потоку. Це приводить до . Чим визначаються потоки?

.

Маємо повну аналогію із течією рідини, що не стискається, по трубі різного перерізу. Більший переріз – менша напруженість електричного поля (тобто рідше йдуть силові лінії).