Релаксационные колебания

В колебательном контуре, содержащем индуктивность и емкость, есть два накопителя энергии. При колебаниях энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки индуктивности и обратно.

Встречаются, однако, колебательные системы, содержащие всего один накопитель энергии. Рассмотрим в качестве примера электрическую цепь, содержащую конденсатор и сопротивление.

Разряд конденсатора через сопротивление представляет собой апериодический процесс. Разряду можно, однако, придать периодический характер, возобновляя разряд конденсатора через постоянные промежутки времени, после его заряда с помощью ключа К (рис. 5).

Релаксационные колебания –это совокупность двух апериодических процессов – процесса заряда и разряда конденсатора.

1) Рассмотрим процесс заряда конденсатора (рис. 1).

Обозначим ЭДС источника e, сопротивление цепи R (включая и внутреннее сопротивление источника).

Запишем второе правило Кирхгофа

, (1)

где: i – мгновенное значение силы тока

,

U_C – мгновенное значение напряжения на конденсаторе

,

q = CU_C – заряд конденсатора.

Из написанных трех равенств мы можем исключить две из трех переменных величин q, i, U_C. Исключим q и i, оставим U_C

.

Тогда из уравнения (1)

,

.

Введем новую переменную , при этом , тогда

.

Мы получили однородное дифференциальное уравнение первого порядка. Решим его, применив метод разделения переменных

,

проинтегрируем

,

,

.

Постоянная интегрирования А зависит от начального условия. Положим, что мы начинаем отсчет времени с момента замыкания цепи. Тогда начальное условие имеет вид

, , .

Это дает

,

.

Возвращаясь к прежней переменой , находим окончательное выражение для напряжения на конденсаторе при заряде конденсатора

.

2) Рассмотрим разряд конденсатора (рис. 5).

Второе правило Кирхгофа имеет вид:

,

,

,

,

,

,

.

Если начало отсчета времени совпадает с началом процесса разряда, то начальное условие примет вид:

, .

В этом случае постоянная интегрирования и зависимость от времени напряжения конденсатора при разряде имеет вид:

.

Полученные результаты показывают, что процессы заряда и разряда (установление электрического равновесия) происходят не мгновенно, а с конечной быстротой. Для рассмотренного контура, содержащего сопротивление и емкость, быстрота установления зависит от произведения

.

t имеет размерность времени и называется постоянной времени или временем релаксации) данного контура. Постоянная времени показывает, через какое время после выключения ЭДС напряжение, а значит, и напряженность электрического поля внутри конденсатора уменьшается в е = 2,718 раз.

В нашей установке роль «ключа», обеспечивающего попеременную зарядку и разрядку конденсатора, играет неоновая лампа.

Неоновая лампа состоит из стеклянного баллона, в который впаяно два электрода – анод и катод в виде металлических пластинок, расположенных на расстоянии 2 – 3 мм. Баллон заполнен неоном при низком давлении (10 – 75 мм рт.ст.).

Основная особенность неоновой лампы заключается в том, что она начинает проводить ток только при определенной разности потенциалов U_З между электродами (рис. 6).

Если напряжение на электродах лампы U < U_З ток через лампу не идет, так как неон является диэлектриком. В этом случае внутреннее сопротивление лампы бесконечно велико.

При разности потенциалов U_З происходит пробой диэлектрика – через лампу идет ток. При этом неон светится оранжевым светом, лампа зажигается. U_З – называется потенциалом зажигания лампы.

Объясняется этот факт следующим образом. В баллоне всегда присутствует незначительное количество свободных электронов, покинувших металл (электроды лампы). При наложении электрического поля кинетическая энергия этих электронов возрастает за счет работы сил электрического поля. Изменение кинетической энергии осуществляется на пути между последовательными столкновениями электрона с другим электроном или атомом неона. С увеличением напряжения на лампе кинетическая энергия электронов возрастает и достигает величины, достаточной для ионизации молекул газа при соударении. Поэтому при постоянном давлении газа разряд наступает при определенном напряжении U_З – потенциале зажигания.

Ударная ионизация – это явление выбивания из молекулы газа одного или более электронов при столкновении молекулы с быстро двигающимися электронами.

Потенциал зажигания U_З зависит от расстояния между электродами, формы электродов, а также от природы и давления газа, заполняющего баллон.

После зажигания лампа может гореть уже при более низком напряжении U, гаснет она при напряжении U_г < U_З, которое называется потенциалом гашения.

Вольт-амперная характеристика лампы, т.е. кривая зависимости силы тока в лампе от напряжения на ее электродах, имеет вид, представленный на рис. 6.

При малых напряжениях на электродах ток, протекающий через лампу, равен нулю. При вспыхивании лампы ток скачком достигает величины I_З. При дальнейшем увеличении напряжения ток в лампе все время возрастает по кривой аb. Если уменьшить напряжение, то ток уменьшится по кривой bc, близкой к ab, но не совпадающей с ней.

Однако для упрощения иногда можно считать, что ab и bc совпадают. Такая идеализированная характеристика будет иметь вид, представленный на рис. 7. Когда лампа горит, ее внутреннее сопротивление можно оценить по этой идеализированной характеристике

.

Рассмотрим, как происходит колебательный процесс в схеме с неновой лампой. На рис. 8 представлена принципиальная схема генератора релаксационных колебаний.

Пусть вначале опыта ключ K разомкнут и U_C = 0. Замкнем ключ K. Конденсатор C начинает заряжаться через сопротивление R, напряжение U_C возрастает. Как только оно достигает напряжения зажигания U_З, лампа начинает проводить ток, причем прохождение тока через лампу сопровождается разрядкой конденсатора. Во время горения лампы конденсатор разряжается, и напряжение в нем падает. Когда напряжение достигает напряжения гашения U_г, лампа перестает проводить ток и конденсатор вновь начинает заряжаться. Кривая изменения напряжения на конденсаторе изображена на рис. 9. Амплитуда колебаний равна U_З – U_г.

Найдем период релаксационных колебаний. Полное время колебания Т состоит из суммы времени зарядки t_З и времени разрядки t_р. Обычно сопротивление R выбирают большим, существенно превосходящем сопротивление зажженной лампы. В этом случае (которым мы и ограничимся) T» t_З. Во время зарядки конденсатора лампа не горит и на основании второго правила Кирхгофа

,

,

,

.

Сделаем замену переменных , тогда и

,

,

,

,

.

Будем отсчитывать время с момента гашения лампы (рис. 4), при

и .

Тогда

,

,

.

В момент зажигания

и ,

,

.

Если T» t_З, то

,

.

Развитая выше теория является приближенной. Следует иметь в виду, что мы полностью пренебрегли паразитными емкостями и паразитными самоиндукциями схемы. Не рассматривали также процессы разряда и деионизации при затухании. Теория справедлива в тех случаях, когда в схеме установлена достаточно большая емкость С и когда период колебаний существенно больше времени развития разряда и деионизации (практически Т ³ 10^–5 с).

ЛИТЕРАТУРА

1. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. I. Механика. – М.: Физматлит, МФТИ, 2002.

2. Стрелков С.Л. Механика. – М.: Физматлит, 2005.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. Т.1. Механика. – М.: Астрель, 2004.

4. Детлаф А.А., Яворский Б.М. Курс физики. - М.: Высш. шк., 2002.

5. Трофимова Т.И. Курс физики. – М.: Высшая школа, 2010.

6. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Т. III. Электричество. – М.: Физматлит, МФТИ, 2004.

7. Калашников С.Г. Электричество. – М.: Физматлит, 2003.

8. Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 2. Электричество и магнетизм. – М.: Астрель, 2004.