Вынужденные электромагнитные колебания

Вынужденными называются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис. 1), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону

,

w – циклическая частота ЭДС.

Обозначим через U_C напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС e (t) действует еще ЭДС самоиндукции e_L в катушке индуктивности.

ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре

.

Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа

.

Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома

.

Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника

.

Следовательно

.

Напряжение U_C на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора

.

ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени

.

Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа

.

Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка

.

Введем следующие обозначения и получим

– коэффициент затухания,

– циклическая частота собственных колебаний контура.