Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Сложение взаимно перпендикулярных колебаний





 

Заставим материальную точку участвовать в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y, тогда она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения частот, так и от разности фаз обоих колебаний.

 

1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения колебаний имеют вид

, (1)

где: и – амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;

a – разность фаз складываемых колебаний (Δj = a).

Система (1) представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на соответствующую ему амплитуду и получим

Используя тригонометрическое тождество

,

получим

.

Затем подставим

,

и получим

или

.

Последнее уравнение возводим в квадрат и преобразуем

,

,

.

Учитывая что , получим

 

(2)

 

Из аналитической геометрии следует, что уравнение (2) это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со сторонами 2a и 2b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания (рис. 2). Ориентация относительно осей зависит от разности фаз .

 

2) Рассмотрим частные случаи уравнения (2)

А) Пусть a = 0, тогда cosa = 1, sina = 0 и уравнение (2) примет вид

,

,

,

 

(3)

 

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из первой четверти координатной плоскости в третью четверть (рис.3). Амплитуда такого колебания равна

. (3а)

Б) Пусть a = p, тогда

cosa = –1, sina = 0 и уравнение (2) примет вид

,

,

,

. (4)

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из второй четверти координатной плоскости в четвертую (рис.4). Амплитуда такого колебания равна (3а).

В) Пусть , тогда cosa = 0, sina = ±1 и уравнение (2) примет вид

. (5)



То есть точка движется по эллипсу (рис.5), оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны a и b.

При этом, если , то точка движется по часовой стрелке, если , то против часовой стрелки.

Г) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину Δw, то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону

.

В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно проходя все этапы, показанные на рис. 2 ¸ рис.5.

3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например , .

Система уравнений (1) примет вид

Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис.6)

(6)

4) В случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны

,

то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Эти фигуры вписаны в прямоугольник 2a´2b, ограничивающий колебания по осям XиY. При этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а количество точек пересечения оси Y равно n.

 







Date: 2015-09-24; view: 216; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.005 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию