Главная Случайная страница


Полезное:

Как сделать разговор полезным и приятным Как сделать объемную звезду своими руками Как сделать то, что делать не хочется? Как сделать погремушку Как сделать неотразимый комплимент Как сделать так чтобы женщины сами знакомились с вами Как сделать идею коммерческой Как сделать хорошую растяжку ног? Как сделать наш разум здоровым? Как сделать, чтобы люди обманывали меньше Вопрос 4. Как сделать так, чтобы вас уважали и ценили? Как сделать лучше себе и другим людям Как сделать свидание интересным?

Категории:

АрхитектураАстрономияБиологияГеографияГеологияИнформатикаИскусствоИсторияКулинарияКультураМаркетингМатематикаМедицинаМенеджментОхрана трудаПравоПроизводствоПсихологияРелигияСоциологияСпортТехникаФизикаФилософияХимияЭкологияЭкономикаЭлектроника






Затухающие электромагнитные колебания





Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис.2) последовательный колебательный контур (RLC контур).

Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.

Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора

,

где – напряжение на конденсаторе,

– напряжение на активном сопротивлении,

– ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем определение силы тока

.

Закон Кирхгофа примет вид

.

Разделим обе части этого уравнения на L

.

Введем следующие обозначения

– коэффициент затухания,

– циклическая частота собственных колебаний контура.

Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре

(1)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.

1) Если w0 > b, то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний

, (2)

где: q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени,

j0 – начальная фаза.

Значения q0 и j0 определяются из начальных условий.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону

.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.

Период затухающих колебанийвсегда больше периода собственных колебаний

.

Разделив (2) на электроемкость конденсатора С, получим напряжение наконденсаторе



.

Чтобы найти силу тока, продифференцируем (2) по времени

,

.

Умножим и разделим это выражение на

.

Введем угол a, определяемый условиями (рис.4)

,

.

 

Тогда можно записать

 

,

.

Поскольку cosa > 0, а sina > 0, то 0 < a < p/2.

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2 и менее чем на p (при R = 0 на p/2).

График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.5. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

2) Пусть сопротивление контура велико, так что b > w0. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой

,

где – мнимая единица.

Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса

,

, ,

где А1 и А2 постоянные, так как b > w0, то К1 и К2 оба вещественны и положительны.

Значения постоянных определяются начальными условиями задачи

,

.

Это дает

, .

После чего решение принимает вид:

.

На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что b >> w0, то К1 >> К2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К2 по сравнению с К1. Тогда .

Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие w0 > b. Подставляем вместо w0 и b их значения, находим условие возникновения колебаний

или ,

.

Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический

.

Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период DW

.

Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях w0 > b энергия меняется по закону

.

Найдем изменение энергии за один период колебаний

,

т.к. , если .

Подставим в добротность и учтем что d =

.

Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne , по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз

.

 






Date: 2015-09-24; view: 1166; Нарушение авторских прав

mydocx.ru - 2015-2019 year. (0.008 sec.) Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав - Пожаловаться на публикацию